Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

        WRITELN('      Нажмите клавишу ENTER...');

        READLN;

        END.

 

Результаты расчёта  на языке программирования Turbo Pascal.

Введите X[1] = 0.01

Введите Y[1] = 3.08

Введите X[2] = 1.34

Введите Y[2] = 7.67

Введите X[3] = 2.09

Введите Y[3] = 9.65

Введите X[4] = 2.87

Введите Y[4] = 11.61

Введите X[5] = 3.44

Введите Y[5] = 12.09

Введите X[6] = 3.82

Введите Y[6] = 13.2

Введите X[7] = 4.68

Введите Y[7] = 15.75

Введите X[8] = 4.97

Введите Y[8] = 17.98

Введите X[9] = 5.45

Введите Y[9] = 18.86

Введите X[10] = 5.87

Введите Y[10] = 20.28

Введите X[11] = 6.32

Введите Y[11] = 21.32

Введите X[12] = 6.96

Введите Y[12] = 23.86

Введите X[13] = 7.51

Введите Y[13] = 24.53

Введите X[14] = 8.66

Введите Y[14] = 28.56

Введите X[15] = 9.08

Введите Y[15] = 31.94

Введите X[16] = 9.41

Введите Y[16] = 32.98

Введите X[17] = 10.11

Введите Y[17] = 33.97

Введите X[18] = 10.76

Введите Y[18] = 36.54

Введите X[19] = 11.44

Введите Y[19] = 38.65

Введите X[20] = 12.39

Введите Y[20] = 39.99

Введите X[21] = 13.22

Введите Y[21] = 38.76

Введите X[22] = 13.88

Введите Y[22] = 42.76

Введите X[23] = 14.76

Введите Y[23] = 45.86

Введите X[24] = 15.54

Введите Y[24] = 49.06

Введите X[25] = 16.23

Введите Y[25] = 51.98

 

   Результаты расчета

 коэффициентов аппроксимации

 

 Для линейной аппроксимации

a1=  3.0245      a2= 2.9646

Для квадратичной аппроксимации

a1= 2.58558     a2=3.11475     a3=-0.00899

Для экспоненциальной аппроксимации

a1=7.55656      a2=0.13585

Результаты расчета коэффициента

корреляции (для линейной)

Ro=0.99612

 

      Результаты расчета  коэффициентов

         детерминированности

 

   Для линейной аппроксимации

  R2_lin=0.99225

 

   Для квадратичной аппроксимации

  R2_kv=0.99243

 

   Для экспоненциальной аппроксимации

  R2_exp=0.89343

 

Результаты, полученные с помощью функции ЛИНЕЙН.

Рассмотрим назначение функции  ЛИНЕЙН.

Эта функция использует метод наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.

 Функция возвращает массив, который описывает полученную  прямую. Уравнение для прямой  линии имеет следующий вид:

y = m₁x₁ + m₂x₂ + ... + b или y = mx + b,

где зависимое значение y является функцией независимого значения x. Значения m - это коэффициенты, соответствующие  каждой независимой переменной x, а b - это постоянная. Заметим, что y, x и m могут быть векторами.

Для получения результатов необходимо создать табличную формулу, которая будет занимать 5 строк и 2 столбца. Этот интервал может располагаться в произвольном месте на рабочем листе. В этот интервал требуется ввести функцию ЛИНЕЙН.

В результате должны заполниться все  ячейки интервала А65:В69 (как показано в таблице 9).

Таблица 9.

	А	В
65	2,96458	3,024507
66	0,054639	0,504924
67	0,992248	1,248286
68	2943,859	23
69	4587,172	35,83899

 

Поясним назначение некоторых величин, расположенных в таблице 9.

Величины, расположенные в ячейках  А65 и В65 характеризуют соответственно наклон и сдвиг.

Представление результатов  в виде графиков.

Рис.2. График линейной аппроксимации

 

Рис.3. График квадратичной аппроксимации

 

 

 

Рис.4. График экспоненциальной аппроксимации

 

 

 

 

Выводы.

Сделаем выводы по результатам полученных данных.

1. Анализ результатов расчетов  показывает, что квадратичная аппроксимация  наилучшим образом описывает  экспериментальные данные, т.к. линия  тренда для неё наиболее точно отражает поведение функции на данном участке.

2. Сравнивая результаты, полученные  при помощи функции ЛИНЕЙН, видим,  что они совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает  на то, что вычисления верны.

3. Результаты, полученные с помощью программы на языке PASCAL, совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.

 

Список используемой литературы.