Теперь корень уравнения находится на отрезке [а, х₁]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке B₁ (x₁; f(x₁)) и полечим

     

и вообще

            (2)

Получаем последовательность приближенных значений x₁, х₂, …, x_n, …, каждый последующий член которой ближе к корню ξ, чем предыдущий. Однако все х_n, остаются больше истинного корня ξ, т.е. х_n – приближенное значение корня ξ с избытком.

     Второй  случай. Пусть f(а) < 0, f (b) > 0, f '(х) > 0, f ''(х) < 0 (рис. 2, а) или f(а)> 0, f(b) < 0, f '(х) < 0, f ''(x) > 0 (рис. 2, б). Если снова провести касательную к кривой у= f (x) в точке В, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [a, b]. Поэтому проведем касательную в точке A₀(a; f(а)) и запишем ее уравнение для данного случая:

     

Полагая у = 0, x = x1 находим

           (3)

Корень ξ находится теперь на отрезке [х₁, b]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную в точке A₁ (x₁; f(x₁)) и получим

     

и вообще 

            (4)

Получаем последовательность приближенных значений х₁, х₂, … ,х_n,…, каждый последующий член которой ближе к истинному корню ξ, чем предыдущий, т.е. х_n – приближенное значение корня ξ с недостатком.

     Сравнивая эти формулы с ранее выведенными, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за х₀ принимался конец b отрезка, во втором – конец а.

     При выборе начального приближения корня  необходимо руководствоваться следующим правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка [а, b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f(b) ∙ f ''(х) > 0 и начальная точка b = x₀, во втором f(a) ∙ f "(x) > 0 и в качестве начального приближения берем а = х₀. 
 

 

      

3 .СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ, ПРИНЯТЫМИ ПРИ ОПИСАНИИ ЗАДАЧИ И В ПРОГРАМЕ

      Соответствие  между переменными, используемыми в блок-схеме и в программном коде главной программы приведено в Таблице 1.

      Соответствие  между переменными, используемыми  в блок-схеме и в программном коде процедуры Save приведено в Таблице 2.

 

Таблица 1 

      Соответствие  между переменными, используемыми  в блок-схеме и в программном коде главной программы

 

 

Таблица 2 

      Соответствие  между переменными, принятыми при описании задачи и в процедуре Save

 

 

      

4. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ПРОГРАММ И ЕЕ ОПИСАНИЕ

 

      Структурная схема главной программы приведена  на рис. 4.1.

1. ввод клавиши выбора пункта меню;
2. если выполняется условие Key=’1’ то выполнить блок, 3 иначе выполнить блок 4;
3. обращение к процедуре ввода исходных данных Vvod;
4. если выполняется условие Key=’2’ то выполнить блок 5, иначе выполнить блок 6;
5. обращение к процедуре поиска корня и вывода его на экран VivRez;
6. если выполняется условие Key=’3’ то выполнить блок 7, иначе выполнить блок 8;
7. обращение к процедуре поиска корня и сохранения его в файл;
8. если выполняется условие Key=’0’ то выйти из программы, иначе вернуться к блоку 1.

 

      Структурная схема подпрограммы функции f изображена на Рис. 4.2.

1. присваивание заголовку функции заданного варианта.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры PolDel изображена на Рис. 4.3.

1. вычисление начального значения х;
2. если значение функции в точке х отстоит от 0 на величину превышающую заданную точность е то выполнить цикл уточнения – перейти к блоку 3, иначе выйти из подпрограммы;
3. если функция в точке а и в точке х имеет одинаковый знак то выполнить блок 4, иначе выполнить блок 5;
4. левая граница перемещается в точку х;
5. правая граница перемещается в точку х;
6. вычисление нового значения х.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры Vvod изображена на Рис. 4.4.

1. вывод запроса на ввод левой границы интервала;
2. ввод а – левой границы интервала;
3. вывод запроса на ввод правой границы интервала;
4. ввод b – правой границы интервала;
5. вывод запроса на ввод точности вычисления корня уравнения;
6. ввод е – точности вычисления корня уравнения.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры Vivrez изображена на Рис. 4.5.

1. обращение к процедуре вычисления корня уравнения PolDel;
2. вывод найденного корня.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры Save изображена на Рис. 4.6.

1. вывод запроса названия файла;
2. ввод названия файла;
3. обращение к процедуре подключения файла с введённым именем;
4. обращение к процедуре открытия файла для записи;
5. обращение к процедуре вычисления корня уравнения PolDel;
6. вывод в файл полученного значения корня;
7. обращение к процедуре закрытия файла.

 

 

 

 

 

 

 

5. ЛИСТИНГ ПРОГРАМЫ

      Листинг программы находится в приложении А.

 

      

6. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТА

      Для контрольного примера найдём значение корня на интервале от 0 до 5. Найдём этот корень графически с использованием программы Microsoft Excel (см. табл 6.1., рис. 6.1).

      Найдём  этот корень при помощи программы (см. рис 6.2.-6.3). Полученное при помощи программы значение корня соответствует расчётному. 

 

       Таблица. 6.1

      Расчетные точки графика функции f(x)=x²-x-6, полученные при помощи программы Microsoft Excel

        
 

 

       

      Рис. 6.1.

 

      

      Рис. 6.1.

 

 

      Рис. 6.2.

 

      

7. ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

      Для работы с программой нужно запустить  программу POLDEL.EXE, находящийся на дискете в приложении D, занимающий 20 кБ.

      После запуска программы на экране появляется меню программы в котором содержатся следующие пункты (см. Прил. Б).

1. 1-Ввести данные
2. 2-Отобразить результат
3. 3-Сохранить результат в файл
4. 0-Выход

      Для ввода исходных данных необходимо в меню нажать 1 ввести по очереди значение левой границы интервала, затем правой, затем точности вычисления.

      Для просмотра результата вычисления необходимо в меню нажать 2. По окончанию просмотра нажмите любую клавишу.

      Для сохранения результата необходимо нажать в главном меню 3 и после появления запроса ввести имя файла, в который следует записать результат.

      Для выхода из программы необходимо в меню нажать 0.

 

      

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      В данной курсовой работе была разработана  программа, решающая нелинейное уравнение. Для его решения был выбран метод половинного деления.

 

      

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кетков  Ю.Л., Кетков А.Ю. Практика программирования: Бейсик, Си, Паскаль. Самоучитель. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 408 с.: ил.
2. Любиев О.Н., Филиппенко Л.Н., Филиппенко Г.Г. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплинам «Программирование на ЯВУ, Информатика», Новочеркасск, ЮРГТУ, 2003г. – 256 с.
3. Фаронов В.В. «Турбо Паскаль 7.0» Начальный курс. Учебное пособие. Издание 7-е, переработанное. – М.: «Нлидж», издатель Молчалева С.В., 2001.-576 с. с ил.
4. Абрамов В.Г., Трифонов Н.П. Введение в язык Паскаль. – М. :Наука, 1988.-320 с.

 

 

      

ПРИЛОЖЕНИЯ

 
 

 

      

ПРИЛОЖЕНИЕ А

 

ЛИСТИНГ ПРОГРАМЫ 

Program PolD;

Uses

  CRT;

Var

  a,b,e,x:real;

Function F(var x:real):real;

begin

  f:=sqr(x)-x-6;

end;

{================================}

Procedure PolDel(a,b,e:real; var x:real);

begin

    x:=(a+b)/2;

    while abs(F(x))>e do

        begin

    if F(a)*F(x)>0 then  a:=x

                                  else b:=x;

    x:=(a+b)/2;

        end;