Оценка эффективности управления инвестиционным портфелем

     Ответ: справедливая стоимость ОФЗ-ПД будет составлять 76,29.

Задача 10

Ниже  приведена информация о ценах  акций «А» и «В» за несколько лет.

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
А	7,07	9,29	23,20	53,56	38,25	18,11	13,10	24,23	19,32	17,12
В	0,71	4,33	29,62	108,17	15,03	8,87	8,18	22,51	37,68	39,18

     А) Определите среднюю  доходность и риск акций за рассматриваемый период.

     В) Предположим, что  инвестор формирует  портфель из данных акций в пропорции 50% на 50%. Определите доходность и риск такого портфеля.

     С) Постройте график эффективной границы Марковица при условии, что акции «А» и «В» являются единственными объектами, доступными для инвестирования.  

     Решение.

     А) Определите среднюю  доходность и риск акций за рассматриваемый период.

     Доходность  акций определим из соотношения цены продажи и цены покупки, принимая каждое следующее значение за цену продажи, каждое предыдущее за цену покупки. Тогда доходность акций будет определяться для каждого периода как:

     

     Получим следующие значения доходности акций:

Год	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
А	0,31	1,50	1,31	-0,29	-0,53	-0,28	0,85	-0,20	-0,11
В	5,10	5,84	2,65	-0,86	-0,41	-0,08	1,75	0,67	0,04

     Средняя доходность актива определяется как  средняя арифметическая доходностей актива за наблюдаемые периоды, а именно:

     

     Средняя доходность акций «А» составит ; акций «В» -

     Риск  оценим величиной среднеквадратического  отклонения доходности акций в каждый из периодов от значения средней доходности актива:

     

     Получим значения величин риска каждой акции:

       

     В) Предположим, что  инвестор формирует  портфель из данных акций в пропорции 50% на 50%. Определите доходность и риск такого портфеля.

     Доходность портфеля определим из формулы ( -удельный вес каждого актива в портфеле):

     

     Доходность  портфеля будет равна 

     

     Риск  портфеля определяется по формуле:

     

     Ковариация  доходности активов А и В определяется по формуле:

     

     Этот  показатель определяет степень взаимосвязи  и направление изменения доходностей активов.

     Для расчета показателя ковариации определим:

     - отклонения доходностей акций  от их среднего значения

А	0,03	1,21	1,02	-0,57	-0,81	-0,56	0,56	-0,49	-0,40
В	3,46	4,21	1,02	-2,50	-2,04	-1,71	0,12	-0,96	-1,59

 

     - произведения отклонений для каждого периода и просуммируем их: 

0,10

5,10

1,04

1,42

1,66

0,96

0,07

0,47

0,64

     В сумме получаем 11,46

     Определяем значение ковариации, разделив полученную сумму на число временных периодов n:

     

     Риск  портфеля будет равен:

     

     С) Постройте график эффективной границы  Марковица при  условии, что акции  «А» и «В» являются единственными объектами, доступными для инвестирования.

     Если объединить в портфель некоторое число активов, корреляция доходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависимости от их удельных весов, можно построить множество портфелей с различными параметрами риска и доходности, которые расположены в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 2.

Рис.2. График эффективной границы Марковица.

     Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать свой риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям, представленным на рис.2, вкладчик предпочтет только те, которые расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирующими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффективным набором.

     Эффективный набор портфелей – это набор, состоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке ВС называют еще эффективной границей. Она открыта Г.Марковицем в 50-х гг. Чтобы определить данную границу, необходимо рассчитать соответствующие удельные веса, входящих в портфель активов, при которых минимизируется значение стандартного отклонения для каждого данного уровня доходности, т. е. решить уравнение:

     

     при условии, что

       и 

     Составим  в MS Excel динамическую таблицу, в которой  будет производиться расчет минимального риска портфеля при каждом заданном соотношении долей каждого актива в портфеле:

     Далее, подставляя различные значения в  поле «Доходность портфеля» с помощью инструмента «Поиск решения» определяем различные соотношения бумаг в портфеле и соответствующий уровень риска портфеля:

     Получим следующие значения: 

Доходность	Риск	Доля акций А в портфеле	Доля акций В в портфеле
0,28	0,25	1,00	0,00
0,35	0,43	0,95	0,05
0,50	1,27	0,84	0,16
0,70	3,37	0,69	0,31
1,00	8,65	0,47	0,53
1,20	13,57	0,32	0,68
1,40	19,63	0,17	0,83
1,50	23,08	0,10	0,90
1,60	26,81	0,02	0,98

 

     Эффективная граница Марковица для портфеля из акций А и В графически примет вид:

Рис.3. График эффективной границы Марковица для портфеля из акций А и В. 

     Ответ: за рассматриваемый период средняя доходность акций А составит 28%; акций В – 163%, риск акции А составит 0,71, акции В – 2,3;

     также при условии, что портфель из данных акций сформирован в пропорции 50% на 50%, его доходность будет составлять 150%, а риск – 2,09.

 

Задача 11.

    Предположим, что безрисковая ставка составляет 5%. Ниже приведены ожидаемые доходности и стандартные отклонения трех паевых фондов.

Фонд	Доходность	Риск (s)
А	16%	32%
В	14%	25%
С	12%	16%

 

1. Какие критерии оценки эффективности портфельных  инвестиций вы знаете?
2. Какой критерий следует использовать рациональному инвестору для выбора фонда исходя из условий?
3. Какой фонд вы посоветуете инвестору? Дайте обоснование своего выбора и подкрепите свое мнение расчетом соответствующего критерия?

    Решение

    Риск  портфеля σ вычисляем по формуле:

    

.

    Доходность  портфеля:

    R=∑WiRi=Wa*0,08+Wb*0,14+Wc*0,26.

    Целевая функция – риск портфеля → min

    Вводим  следующие ограничения:

    Wa+Wb+Wc=1, 0<W<1, R≤0,12

    Расчет  задачи осуществим в EXCEL. Для решения используем функцию «Поиск решения»:

      

    Соответственно  предварительно вводим данные задачи в ячейки MS EXCEL. Затем задаем необходимые ячейки формулами:

      

Получаем  следующее решение задачи: 

      

    В результате произведенных вычислений имеем:

    sп=0,16=16%

    W1=0,44=44%

    W2=0,50=50%

    W3=0,06=6%

    Ответ: оптимальный портфель в нашем  случае должен состоять на 44% из акций В, на 50% из акций В и на 6% из акций С. 

Задача 19

     ОАО «Венера» и «Сатурн» имеют следующие  возможности для привлечения заемных средств в сумме 100 млн.

Предприятие	Фиксированная ставка	Плавающая ставка
«Венера»	12,0%	LIBOR + 0,1
«Сатурн»	13,4%	LIBOR + 0,6

     При этом ОАО «Венера» предпочитает заем по плавающей ставке, а ОАО «Сатурн» - по фиксированной.

     А) Разработайте своп, который принесет выгоду обоим предприятиям.

     В) Какова максимальная ставка комиссии, которую  предприятия могут предложить организатору свопа?

     Решение.

     А) Разработайте своп, который принесет выгоду обоим предприятиям.

     Рассчитаем  дельту между ставками:

Предприятие	Фиксированная ставка	Плавающая ставка	Разность между дельтами фиксированных и пла- вающих ставок
«Венера»	12,0%	LIBOR + 0,1
«Сатурн»	13,4%	LIBOR + 0,6
Дельта	1,4%	0,5%	0,9%

     Половину  разницы (0,9/2 = 0,45) предприятие «Сатурн» выплачивает «Венере»  13,4% - 0,45% = 12,95%.

     «Венера»  же выплачивает «Сатурну» плавающую  ставку Libor.

     Таким образом, платежи и поступления каждого предприятия будут следующими: