Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке таблицы. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение комиссии экспертов по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка по медианам имеет вид:

Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б . (2)

Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. с точки зрения математической статистики ранжировка (2) имеет одну связь.

Сравнение ранжировок по методу средних арифметических и методу медиан. Сравнение ранжировок (1) и (2) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что проекты М-К, Л, Сол упорядочены как М-К < Л < Сол, но из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе признаны равноценными проекты Л и Сол (ранжировка (1)), а в другом - проекты М-К и Л (ранжировка (2)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения проектов К и Г-Б: в ранжировке (1) Г-Б < К, а в ранжировке (2), наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты - наименее привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для дальнейшего обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать внимания.

Рассмотренный пример демонстрирует сходство и  различие ранжировок, полученных по методу средних арифметических рангов и  по методу медиан, а также пользу от их совместного применения.

2.3. Медиана Кемени.

Согласно  идее Джона Кемени следует искать среднее мнение как решение  оптимизационной задачи. А именно, надо минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мнений экспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют "медианой Кемени".

Математическая  сложность состоит в том, что  мнения экспертов лежат в некотором  пространстве объектов нечисловой природы. Общая теория подобного усреднения построена в ряде работ, в частности, показано, что в силу обобщения  закона больших чисел среднее мнение при увеличении числа экспертов (чьи мнения независимы и одинаково распределены) приближается к некоторому пределу, который естественно назвать математическим ожиданием (случайного элемента, имеющего то же распределение, что и ответы экспертов).

В конкретных пространствах нечисловых мнений экспертов  вычисление медианы Кемени может  быть достаточно сложным делом. Кроме  свойств пространства, велика роль конкретных метрик. Так, в пространстве ранжировок при использовании метрики, связанной с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла, необходимо проводить достаточно сложные расчеты, в то время как применение показателя различия на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмена приводит к упорядочению по средним рангам.

Рассмотрим частный случай пространств нечисловой природы - пространство бинарных отношений на конечном множестве и его подпространства. Каждое бинарное отношение А можно описать матрицей из 0 и 1, причем тогда и только тогда, когда q_i и q_j находятся в отношении A, и в противном случае.

Расстоянием Кемени между бинарными отношениями  А и В, описываемыми матрицами и соответственно, называется

Расстояние  Кемени – это число несовпадающих  элементов в матрицах || a(i,j) || и || b(i,j) ||. Расстояние Кемени основано на некоторой системе аксиом. В дальнейшем под влиянием Кемени были предложены различные системы аксиом для получения расстояний в тех или иных нужных для социально-экономических исследований пространствах, например, в пространствах множеств.

С помощью  расстояния Кемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть  А₁ , А₂ ,  А₃ ,…, А_s – ответы s экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для того, чтобы найти групповое мнение необходимо вычислить медиану Кемени, (эмпирическое среднее относительно расстояния Кемени). Медианой Кемени является

где – расстояние Кемени.

Элементы  удовлетворяют условию: , если , и , если . Следовательно, при нечетном количестве экспертов s, групповое мнение определяется однозначно. При четном s неоднозначность возникает в случае . Тогда медиана Кемени – не одна матрица отношений, а множество.

Медиана Кемени определяет ранжировку, которая находится на наименьшем расстоянии от коллективного мнения группы экспертов. 

Законы  больших чисел показывают, во-первых, что медиана Кемени обладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению состава экспертной комиссии; во-вторых, при увеличении числа экспертов она приближается к некоторому пределу. Его рассматривают как истинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся по случайным причинам.

2.4. Метод согласования  кластеризованных  ранжировок.

Метод согласования кластеризованных ранжировок позволяет перевести противоречия в специальным образом построенные кластеры, в то время как упорядочение кластеров соответствует одновременно всем исходным упорядочениям. Алгоритм согласования некоторого числа (двух или более) кластеризованных ранжировок

состоит из трех этапов. На первом – выделяются противоречивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок. На втором – формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки. На третьем этапе эти кластеры упорядочиваются. Для установления порядка между кластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй - из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеет место между выбранными объектами в любой из рассматриваемых кластеризованных ранжировок. Если в одной из исходных кластеризованных ранжировок имеет место равенство, а в другой – неравенство, то при построении итоговой кластеризованной ранжировки используется неравенство. Если два объекта из разных кластеров согласующей кластеризованной ранжировки окажутся эквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т.е. находиться в одном кластере), то необходимо рассмотреть упорядоченность этих объектов в какой-либо другой из исходных кластеризованных ранжировок. Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемых объекта находились в одном кластере, то естественно считать (и это является уточнением к этапу 3 алгоритма), что они находятся в одном кластере и в согласующей кластеризованной ранжировке. В дальнейшем, содержимое каждого кластера имеет смысл проанализировать с привлечением метода упорядочения по медианам рангов, либо вычислив медиану Кемени.

Необходимость анализа нескольких кластеризованных ранжировок объектов возникает в  различных прикладных областях. К ним относятся прежде всего экология, инженерный бизнес, менеджмент, экономика, социология, прогнозирование, научные и технические исследования и т.д., особенно те их разделы, что связаны с экспертными оценками. В качестве объектов могут выступать образцы продукции, технологии, математические модели, проекты, кандидаты на должность и др. Кластеризованные ранжировки могут быть получены как с помощью экспертов, так и объективным путем, например, при сопоставлении математических моделей с экспериментальными данными с помощью того или иного критерия качества.

Заключение.

Динамизм  и новизна современных задач, возможность возникновения разнообразных  факторов, влияющих на эффективность  решений, требуют, чтобы эти решения  принимались быстро и в то же время были хорошо обоснованы. Опыт, интуиция, чувство перспективы в сочетании с информацией помогают специалистам точнее выбирать наиболее важные цели и направления развития, находить наилучшие варианты решения сложных научно-технических и социально-экономических задач в условиях, когда нет информации о решении аналогичных проблем в прошлом. Использование метода экспертных оценок помогает формализовать процедуры сбора, обобщения и анализа мнений специалистов с целью преобразования их в форму, наиболее удобную для принятия обоснованного решения.

Несмотря  на успехи, достигнутые в последние  годы в разработке и практическом использовании метода экспертных оценок, имеется ряд проблем и задач, требующих дальнейших методологических исследований и практической проверки. Необходимо совершенствовать систему отбора экспертов, повышение надежности характеристик группового мнения, разработку методов проверки обоснованности оценок, исследование скрытых причин, снижающих достоверность экспертных оценок. Однако, уже и сегодня экспертные оценки в сочетании с другими математико-статистическими методами являются важным инструментом совершенствования управления на всех уровнях.

Список  использованной литературы.

1. Н.П.Тихомиров, Т.М.Тихомирова. Риск-Анализ в экономике. «Экономика», 2010.
2. Н.П.Тихомиров, Т.М.Тихомирова, О.С.Ушмаев. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа. «Экономика», 2011.
3. А.И.Орлов. Теория принятия решений. «Март», 2004
4. Д.П.Олейников, Л.Н.Бутенко. Применение методов статистики объектов нечисловой природы в вербальном анализе решений.
5. http://www.isachenko-na.ru/page402/page500/index.html
6. http://consumermarket.ru/?p=53
7. http://obzh.ru/nad/8-6.html
8. http://www.spc-consulting.ru/app/expert.htm