Математические методы в экономике. Задачи

 

Разобьем решение  задачи на два этапа:

I – Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль.

     II – Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость. 

Этап I. 

Обозначим объем производства 1 продукта – x₁, 2 продукта – x₂. 

Цель задачи – добиться максимального дохода от реализации продукции. Критерием  эффективности служит показатель дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину дохода от продажи продуктов 1 и 2, необходимо знать объемы производства продуктов и цены за единицу измерения объемов.

Общая прибыль  предприятия может быть описана  целевой функцией L(X): сумма доходов от продажи продуктов 1 и 2 (при допущении независимости объемов сбыта каждого из продуктов):

L(X) = 21*x₁ + 140*x₂  ->  max  

Возможные объемы производства продуктов x₁ и x₂ ограничиваются следующими условиями:

• Расход ресурсов 1 и 2:

1 ресурс: 49*x₁ + 70*x₂ <= 490

2 ресурс: 21*x₁ + 28*x₂ <= 84

• Выпуск продуктов не должен быть отрицательным:

x₁ >= 0 и x₂ >= 0 

Рассмотрим предельные варианты производства продуктов 1 и 2:

1 ресурс:

49*x₁ + 70*x₂ = 490

x₁ = 0:  49*0 + 70*x₂ =490; x₂ = 490/70 = 7, обозначим как точка A [0;7].

x₂ = 0:  49*x₁ + 70*0 = 490; x₁ = 490/49 = 10, обозначим как точка B [10;0].

2 ресурс:

21*x₁ + 28*x₂ = 84

x₁ = 0:  21*0 + 28*x₂ = 84; x₂ = 84/28 = 3, обозначим как точка C [0;3].

x₂ = 0:  21*x₁ + 28*0 = 84; x₁ = 84/21 = 4, обозначим как точка D [4;0]. 

Построим множество  допустимых планов производства двух продуктов x₁ и x₂, для этого построим графики использования ресурсов 1 и 2:

Точку начала координат  обозначим O [0;0].

Фигуры OAB и OCD представляют собой множество возможностей использования ресурсов 1 и 2 соответственно.

Фигура OCD в данном случае будет являться множеством допустимых планов производства двух продуктов x₁ и x₂.

Точка C (точка максимума) характеризует наиболее полное использование ресурсов 1 и 2 при производстве продуктов x₁ и x₂. 

L_уровня (X) = 21*x₁ + 140*x₂ = 294

x₁ = 0:  21*0 + 140*x₂ =294; x₂ = 294/140 = 2,1.

x₂ = 0:  21*x₁ + 140*0 = 294; x₁ = 294/21 = 14. 

Тогда оптимальный  план производства будет:

x₁ = 0 и x₂ = 3

Отсюда максимальная прибыль предприятия:

L_max(X) = 21*x₁ + 140*x₂ = 21*0 + 140*3 = 0 + 420 = 420 

Этап II. 

Обозначим затраты на 1 ресурс – y₁, 2 ресурс – y₂. 

Цель задачи – добиться минимальных затрат на ресурсы при производстве продуктов. Критерием эффективности служит показатель затрат на приобретение ресурсов, который должен стремится к минимуму. Чтобы рассчитать стоимость ресурсов 1 и 2, необходимо знать количество используемых ресурсов на производство продуктов и себестоимость готовых продуктов.

Общая затраты предприятия могут быть описаны целевой функцией L(Y): сумма затрат на приобретение ресурсов 1 и 2 (при допущении независимости объемов приобретения каждого из ресурсов):

L(Y) = 490*y₁ + 84*y₂  ->  min  

Допустим, что  прибыль от продажи, приведенная  в условиях задачи, является себестоимостью продуктов 1 и 2. Цена не может опускаться ниже себестоимости, так иначе производство будет убыточным. Себестоимость в свою очередь зависит от цен на ресурсы. Возможные варианты затрат на ресурсы y₁ и y₂ ограничиваются следующими условиями:

• Стоимость продуктов 1 и 2:

1 продукт: 49*y₁ + 21*y₂ >= 21

2 продукт: 70*y₁ + 28*y₂ >= 140

• Цена не может быть отрицательной:

y₁ >= 0 и y₂ >= 0 

Рассмотрим предельные варианты затрат на ресурсы 1 и 2:

1 продукт:

49*y₁ + 21*y₂ = 21

y₁ = 0:  49*0 + 21*y₂ =21; y₂ = 21/21 = 1, обозначим как точка A [0;1].

y₂ = 0:  49*y₁ + 21*0 = 21; y₁ = 21/49 = 0,43, обозначим как точка B [0,43;0].

2 продукт:

70*y₁ + 28*y₂ = 140

y₁ = 0:  70*0 + 28*y₂ = 140; y₂ = 140/28 = 5, обозначим как точка C [0;5].

y₂ = 0:  70*y₁ + 28*0 = 140; y₁ = 140/70 = 2, обозначим как точка D [2;0]. 

Построим множество  значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат на ресурсы y₁ и y₂, для этого построим графики затрат на ресурсы 1 и 2:

Точки [0;+∞] и [+∞;0] обозначим E и F соответственно.

Точку пересечения  двух графиков обозначим G.

Фигуры EABF и ECDF представляют собой множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 соответственно.

Фигура ECDF в данном случае будет являться множеством допустимых значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат y₁ и y₂.

Точка C (точка минимума) характеризует наименьшие возможные затраты y₁ и y₂ при производстве продуктов 1 и 2. 

L_уровня (Y) = 490* y ₁ + 84* y ₂ = 511,6

y₁ = 0:  490*0 + 84*y₂ =511,6; y₂ = 511,6/84 = 6,09.

y₂ = 0:  490*y₁ + 84*0 = 511,6; y₁ = 511,6/490 = 1,04. 

Тогда минимальные затраты на ресурсы 1 и 2 при заданной себестоимости будут:

y₁ = 0 и y₂ = 5

Отсюда минимальные затраты на ресурсы при производстве продуктов 1 и 2:

L_min(Y) = 490*y₁ + 84*y₂ = 490*0 + 84*5 = 0 + 420 = 420 

Ответ:

     Этап I: Множество допустимых планов производства – фигура OCD из графика, оптимальный план производства 0 единиц первого продукта за цикл и 3 единицы второго продукта за цикл, соответствующая ему прибыль составит 420 рублей.

     Этап II: Двойственные оценки ресурсов –  фигура ECDF из графика, минимальная себестоимость первого продукта  0 рублй и второго продукта 5 рублей, соответствующие им затраты составят 420 рублей. 
 

Задача  № 3

Имеются два способа производства некоторого продукта. Издержки производства при  каждом способе зависят от произведенных  y₁ и y₂ следующим образом:

За месяц  необходимо произвести ровно 350 единиц продукции, распределив ее между  двумя способами так, чтобы минимизировать общие издержки. Найти сколько  единиц продукции необходимо произвести по каждой технологии и найти соответствующие этому распределению общепроизводственные издержки. 

Задача  минимизации издержек производства для заданного объема выпуска  продукции состоит в том, чтобы  найти такое сочетание ресурсов, при котором их стоимость была бы минимальной.

Тогда необходимо найти решить следующее уравнение:

g₁(y₁) + g₂(y₂) = (5 + y₁ + y₁²) + (7 + 5*y₂ + y₂²) ->  min

при условиях: f(y₁, y₂) = y₁ + y₂ = I, где y₁ >= 0, y₂ >= 0, I = 350 

Задачу  будем решать методом множителей Лагранжа:

L(Y, λ) = g₁(y₁) + g₂(y₂) + λ*(I – f(y₁, y₂)) = (5 + y₁ + y₁²) + (7 + 5*y₂ + y₂²) + λ*(350 – y₁ – y₂)

Первая  производная функции L(Y, λ) является точкой минимума, найдем ее для каждой из переменных y₁ и y₂.

L’(y₁) = 2* y₁ + 1 - λ

L’(y₂) = 2* y₂ + 5 - λ

Найдем  пересечение двух функций, при заданных условиях:

2*y₁ + 1 – λ = 0  (1)

2*y₂ + 5 – λ = 0  (2)

y₁ + y₂ = 350   (3)

Приравняем  уравнения 1 и 2 и подставим результат  в уравнение 3.

2*y₁ + 1 – λ = 2*y₂ + 5 – λ; 2*y₁ – 2*y₂ = 4; y₁ – y₂ = 2; y₁ = 2 + y₂

y₁ + y₂ = 350: 2 + y₂ + y₂ = 350; 2*y₂ = 348; y₂ = 174 единиц продукции

Отсюда:

y₁ = 2 + y₂; y₁ = 176 единиц продукции 

L_min(Y) = (5 + 176 + 176²) + (7 + 5*174 + 174²) = 31 157 + 31 153 = 62 310 рублей 

Ответ: Для производства 350 единиц продукции за один месяц, распределив производство между двумя способами так, чтобы минимизировать общие издержки, необходимо:

     - первым способом произвести 176 единиц  продукции

     - вторым способом произвести 174 единицы  продукции

Общие издержки составят 62 310 рублей. 

Задача  № 4 

В фирме  работают 7 разработчиков и поступил заказ на выполнение 3-х проектов. Известны сроки выполнения каждого из проектов (в месяцах) в зависимости от числа исполнителей. Необходимо распределить работников по проектам так, чтобы суммарный срок разработки всех трех проектов был минимальным. Найти распределение людей и соответствующий этому распределению суммарный срок выполнения всех проектов.