Математические методы в экономике. Задачи

 

Цель задачи – добиться минимального срока выполнения разработки всех трех проектов. Критерием эффективности служит количество затраченных месяцев на разработку проектов, которое должно стремится к минимуму. 

Рассмотрим  все возможные варианты распределения 7 разработчиков между 1 и 3 проектами  и соответствующие им суммарные сроки разработки этих проектов. Для наглядности расчет произведем в виде таблицы. 

 

Из полученных данных выделим минимальные сроки  для каждого общего количество задействованных  разработчиков.

Рассмотрим  варианты распределения 7 разработчиков  между всеми тремя проектами, при этом будем использовать полученную информацию о минимальных суммарных сроках разработки проектов 1 и 3. Расчет также произведем в виде таблицы. 

 

Ответ: Для разработки всех трех проектов в минимально-возможный короткий срок необходимо распределить разработчиков следующим образом:

     - на первый проект направить  одного разработчика;

     - на второй проект направить  одного разработчика;

     - на третий проект направить  пять разработчиков.

Суммарный срок разработки всех трех проектов – 135 месяцев. 

Задача  № 5 

Для монопольного рынка характерен следующий спрос  P=1200-Q, где Q–рыночный спрос, P-рыночная цена. Совокупные издержки фирмы монополиста равны TC=50Q. Какую цену установит монополист? Какой объем продукции он произведет? Какую выручку, издержки и прибыль получит? Задачу решить аналитически и графически. 

Величина  совокупного дохода TR:

TR = P*Q = (1200 – Q)*Q = 1200*Q – Q²

Предельный  доход MR:

MR = (TR)’ = (1200*Q – Q²)’ = 1200 – 2*Q

Находим предельные издержки MC:

MC = TC’ = (50*Q)’ = 50

Фирма максимизирует прибыль или минимизирует убытки при объеме производства соответствующей точке пересечения линий предельного дохода и предельных издержек:

MR = MC: 1200-2*Q=50; 2*Q=1150; Q=575 

Рыночный  спрос Q_моноп = 575

Рыночная  цена Р_моноп = 1200 – 575 = 625 рублей

TR_моноп = 625*575 = 359 375 рублей

ТС_моноп = 50*575 = 28 750 рублей

П_моноп = TR – TC = 359 375 – 28 750 = 330 625 рублей 

Построим  графики:

P(Q):

Q = 0; P = 1200 – 0 = 1200, обозначим как точка A [0;1200]

Q = 1200; P = 1200 – 1200 = 0, обозначим как точка B [1200;0]

MR(Q):

Q = 0; MR = 1200 – 2*0 = 1200, обозначим как точка C [0;1200]

Q = 600; MR = 1200 – 2*600 = 0, обозначим как точка D [600;0]

P_моноп = 625; Q_моноп = 575; MC = 50:

E [0;50]; F [0;625]; G [575;625]; H [575;50]; I [575;0]; O [0;0] 

S_OFGI = TR_моноп = 359 375 рублей

S_OEHI = TC_моноп = 28 750 рублей

S_EFGH = П_моноп = 30 625 рублей 

Ответ: Монопольная цена Р_моноп составила 625 рублей. Объем продукции составит 575 единиц продукции. Выручка составит TR_моноп = 359 375 рублей, издержки ТС_моноп = 28750 рублей и прибыль П_моноп = 330 625 рублей. 

Задача  № 6 

Для рынка  совершенной конкуренции характерен следующий спрос P=1200-Q, где Q–рыночный спрос, P-рыночная цена. Совокупные издержки i–ой фирмы равны TC_i=50q_i. Рассчитать цену, установившуюся на рынке, общий валовой выпуск рынка, выпуск каждой фирмы, прибыль каждой фирмы и общую прибыль рынка. 

Находим предельные издержки i–ой фирмы MC_i:

MC_i = ( TC_i)’ = (50q_i)’ = 50

Значит  цена, установившаяся на рынке Р_рынка = 50 рублей.

Общий валовый выпуск Q_рынка = 1200 – 50 = 1150 единиц товара.

Выпуск  каждой фирмы составит:

q_i = 1150/N единиц товара, где N общее количество фирм.

Прибыль каждой фирмы составит:

П_i = TR_i – TC_i = Р_рынка *q_i – TC_i = 50*q_i – 50*q_i = 0 рублей

Общая прибыль рынка:

П_рынка = ∑П_i = ∑0 = 0 рублей 

Построим  графики:

P(Q):

Q = 0; P = 1200 – 0 = 1200, обозначим как точка A [0;1200]

Q = 1200; P = 1200 – 1200 = 0, обозначим как точка B [1200;0]

MC_i = 50: C [1150;50]

Ответ: Цену, установившуюся на рынке, Р_рынка составит 50 рублей. Общий валовой выпуск рынка Q_рынка – 1150 единиц товара, выпуск каждой фирмы q_i – 1150/N, прибыль каждой фирмы 0 рублей и общую прибыль рынка 0 рублей.