Множественная регрессия и корреляция

     =

    

    Сравнивая и приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора после фактора , так как . Гипотезу о несущественности прироста за счёт включения дополнительного фактора отклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения фактора после фактора .

    Целесообразность  включения в модель фактора  после фактора проверяет :

     =

    Низкое  значение свидетельствует о статистической незначимости прироста за счёт включения в модель фактора (средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является достаточно статистически значимой, надёжной и что нет необходимости улучшать её, включая дополнительный фактор (средний возраст безработного).

    Пример 2

     Используя статистический материал, приведенный  в таблице 1, необходимо:

     1) построить линейное уравнение множественной регрессии, пояснить экономический смысл его параметров;

     2) дать сравнительную оценку тесноты  связи факторов с результативным  признаком с помощью средних  (общих) коэффициентов эластичности;

     3) оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия и нулевую гипотезу о незначимости уравнения с помощью F-критерия;

     4) оценить качество уравнения посредством  определения средней ошибки аппроксимации.

 

      Таблица 1.

     Исходные данные

     Для определения неизвестных параметров b₀ , b₁ , b₂ уравнения множественной линейной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

      (7)

     Для решения этой системы вначале  необходимо определить значения величин  Σ x₁² , Σ x₂² , Σ x₁y , Σ x₂y , Σ x₁ x₂ . Эти значения определяем из таблицы 1, дополняя ее соответствующими колонками (табл. 2).

     Таблица 2

     К расчету коэффициентов регрессии

     Тогда система (7) приобретает вид:

      (8)

     Для решения данной системы воспользуемся  методом Гаусса , который заключается в последовательном исключении неизвестных: делим первое уравнение системы на 10, затем умножаем полученное уравнение на 370,6 и вычитаем его из второго уравнения системы, далее умножаем полученное уравнение на 158,20 и вычитаем его из третьего уравнения системы. Повторяя указанный алгоритм для преобразованных второго и третьего уравнений системы, получим:

.

     После преобразования имеем:

      . (9)

     Откуда

     

     Тогда окончательно зависимость чистого  дохода от оборота капитала и использованного  капитала в виде линейного уравнения  множественной регрессии имеет  вид:

      . (10)

     Из  полученного эконометрического  уравнения видно, что с увеличением  используемого капитала чистый доход  увеличивается, и наоборот, с увеличением  оборота капитала чистый доход уменьшается. Кроме того, чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние объясняющей переменной на зависимую переменную. В рассматриваемом примере величина коэффициента регрессии b₂ больше, чем величина коэффициента b₁ , следовательно, используемый капитал оказывает значительно большее влияние на чистый доход, чем оборот капитала. Для количественной оценки указанного вывода определим частные коэффициенты эластичности¹²:

      .

     Анализ  полученных результатов также показывает, что большее влияние на чистый доход оказывает используемый капитал. Так, в частности, при увеличении используемого капитала на 1% чистый доход увеличивается на 1,17%. В то же время с ростом оборота капитала на 1% чистый доход снижается на 0,5%.

     Расчетное значение критерия Фишера F_p :

     

     Где

     

     Величина  критического значения F_КРИТ определяется по статистическим таблицам и для уровня значимости α = 0,05 равняется 4,74. Так как F_p > F_КРИТ, то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически значимым.¹³

     Оценка  статистической значимости коэффициентов  регрессии b₁ и b₂ по t-критерию сводится к сопоставлению численного значения этих коэффициентов с величиной их случайных ошибок m_b1 и m_b2 по зависимости:

      . (11)

     Рабочая формула для расчета теоретического значения t-статистики имеет вид:

      , (12)

     где парные коэффициенты корреляции и коэффициент  множественной корреляции рассчитываются по формулам:

      ; (13)

      ; (14)

      ; (15)

      . (16)

     Тогда расчетные значения t-статистик соответственно равны:

     

     Поскольку критическое значение t-статистики, определенное по статистическим таблицам для уровня значимости α = 0,05, равное t_КРИТ = 2,36, больше по абсолютной величине, чем t_b1^T = -1,798, то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная x₁ является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии t_b2^T > t_КРИТ (3,3 >2,36) и объясняющая переменная x₂ является статистически значимой.¹⁴

     Для определения средней ошибки аппроксимации воспользуемся формулой (10). Для удобства расчетов преобразуем таблицу 1 в таблицу 3, в которой в колонке рассчитаны текущие значения объясняющей переменной с использованием зависимости .

     Таблица 3.

     К расчету средней ошибки аппроксимации

     Тогда средняя ошибка аппроксимации равна:

      .

     Полученное  значение не превышает допустимого предела, равного 12—15%.

     Общая теория приведенных выше методов  анализа описывается следующим  образом. После того как найдено  уравнение линейной регрессии, оценивается  значимость как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Оценка значимости уравнения регрессии в целом может выполняться с помощью различных критериев. Достаточно распространенным и эффективным является применение F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза H₀ , что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части — объясненную и необъясненную:

     

     Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от его среднего значения вызвана влиянием множества факторов.

     Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси ОХ и у = . Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов. Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс, обусловленный как влиянием фактора х, т.е. регрессией у по х, так и действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию.

     Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации r_xy² будет приближаться к 1. Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы, т.е. числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов требуется (n - 1) независимых отклонений, т.к. по совокупности из единиц n после расчета среднего уровня свободно варьируют лишь отклонения (n - 1). При расчете объясненной, или факторной, суммы квадратов используются теоретические (расчетные) значения результативного признака у, найденные по линии регрессии: у(х) = а + bх.¹⁵