F(t)=1-е

т.е. вероятность  того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется этой формулой, где  — параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания t_o6:

= 1/ t_o6

    Рассмотрим  ряд основных понятий, связанных  с имитационным моделированием. Не во всех задачах анализа возможно использование аналитических методов решения.

      Если изучаемые процессы имеют  явно нелинейный характер и  при этом осложнены разного рода вероятностными характеристиками, то о практически полезном аналитическом решении не может быть и речи. В этих случаях могут быть применены методы машинной имитации, то есть методы экспериментального изучения социально-экономических систем с помощью ЭВМ. Машинная имитация применяется тогда, когда реальный экономический эксперимент по каким-либо причинам невозможен, и тогда имитация выступает в качестве замены реального эксперимента либо в качестве предварительного этапа, позволяющего принять более обоснованное решение о проведении такого эксперимента.

    При машинной имитации формируется так  называемая имитационная система, в  которую входят имитационная модель, имитирующая исследуемый процесс, и набор алгоритмов и программ, предназначенных как для обеспечения диалога человека и ЭВМ, так и для решения задач типа ввода и вывода информации, формирования базы данных и т.д. Имитационная модель при этом сама является своего рода программой для ЭВМ. Практическое применение этой модели заключается в наблюдении за результатами весьма многовариантных расчетов по такой программе при различных задаваемых значениях вводимых экзогенных переменных. В процессе анализа этих результатов могут быть сделаны выводы о поведении системы без ее построения, если эта система только проектируется, без вмешательства в ее функционирование, если это действующая система, и без ее разрушения, если целью эксперимента является определение пределов воздействия на систему. Таким образом могут быть достигнуты цели экономико-математического моделирования в тех случаях, когда аналитическое решение невозможно.

    Процесс последовательной разработки имитационной модели начинается с создания простой  модели, которая затем постепенно усложняется в соответствии с предъявляемой решаемой проблемой требованиями. В каждом цикле имитационного моделирования можно выделить следующие этапы:

1. Формулирование проблемы: описание исследуемой проблемы и определение целей исследования.
2. Разработка модели: логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы.
3. Подготовка данных: идентификация, спецификация и сбор данных.
4. Трансляция модели: перевод модели со специальных имитационных языков, используемых на втором этапе, на язык, применяемый для используемой ЭВМ.
5. Верификация: установление правильности машинных программ.
6. Валидация: оценка требуемой точности и адекватности имитационной модели.
7. Планирование: определение условий проведения машинного эксперимента с имитационной моделью.
8. Экспериментирование: многократный прогон имитационной модели на ЭВМ для получения требуемой информации.
9. Анализ результатов: изучение результатов имитационного эксперимента для подготовки выводов и рекомендаций по решению проблемы.
10. Реализация и документирование: реализация рекомендаций, полученных на основе имитации, и составление документации по модели и ее использованию.

 

2. Практическая часть

 

    Рассмотрим  примеры расчета параметров одноканальных  и многоканальных СМО с отказами.

    Одно  канальная СМО содержит один канал (n = I), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок П_вх, интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inП_вх = . Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо записывают (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Т_об распределено по показательному закону и записывается в виде: , где - интенсивность отказов.

    Состояние СМО характеризуется простаиванием  или занятостью ее канала, т. е. двумя состояниями: s0 — канал свободен и простаивает, s1 — канал занят. Переход системы из состояния s0  в состояние s1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок П_вх, а из состояния s1, в состояние s0 систему переводит поток обслуживании П_об: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния s0 в s1 и обратно равны соответственно и .

    Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживав только одну заявку). Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n+1) состояний: s0 — все п каналов свободны; s1 — занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; Si - заняты i каналов, (п—i) каналов свободны; Sn —заняты все п каналов. 

    Пользуясь  общим  правилом  составления  дифференциалы уравнений Колмогорова, можно составить системы дифференциальных уравнений:

    а) например, для одноканальной СМО  имеем:

    

    6) для  многоканальной  СМО   соответствен имеем:

    

    

 

     Решив первую систему уравнений, можно  найти значения p₀(t) и p₁(t) для одноканальной СМО и построить графики (рис.7.3, а-в) при трех случаях: 1) ; 2) ; 3) . Можно также определить предельную пропускную способность СМО (рис. 7.3, г).  

    Теперь  осуществим оценку эффективности деятельности субъектов рынка:

    Пример 1. Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью μ = 0,6 вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток выозовов клиентов с интенсивностью λ = 0,3 вызовов/мин. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа P_отк телефонной линии, влияющие на итоговый доход филиала. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.

    Решение: Так как математической моделью телефонной линии является одноканальная СМО с отказами, характеризующаясями параметрами – интенсивностью входящего потока обслуживания inП_вх = = 0,3 и интенсивностью потока обслуживания inП_об = μ = 0,6, то по формуле:

    

    можно определить вероятность отказа так:

    P_отк = = = 0,333, или 33,3%, т.е. в установившемся предельном режиме из каждых 100 заявок в среднем 3 получат отказ.

    Далее определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности  СМО, используя формулу:

    Q = 1 - P_отк = 1 – 0,333 = 0,667;

    A=  λ * Q =0,3*0,667=0,2.

    Итак  из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговора пораждают ситуацию, что абсолютная пропускная способность A= 0,2 разговора/мин в три раза меньше производительности телефонной линии μ = 0,6 вызова/мин (0,6:0,2 = 3).

    Определим:

    а) среднее время обслуживания (в  мин) Т_об :

    Т_об=

= = 1,66 мин;

    б) среднее время простоя канала (в мин) Т_пр :

    Т_пр=

= = 3,33 мин;

    в) вероятность того, что канал свободен :

    P₀=

  = = 0,2.

    Или    P0= = =0,666,

    в) вероятность того, что канал занят P₁:

    P₁= 1 – P₀ = λ/(λ+μ) = 0,334,

    Или P₁= Т_об / (Т_об + Т_пр ) = 1,66 / (1,66+3,33) = 0,332.

    Таким образом, вероятность того, что канал  занят, ментше вероятности того, что  канал свободен, т.е. P₁ < P₀, и этого следовало ожидать, так как интенсивность входящего потока λ = 0,3 меньше интенсивности производительности канала μ = 0,6.

    Пример 2. Пусть филиал фирмы по ремонту радиоаппаратуры имеет n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт l =10 радиоаппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь каждый аппарат в зависимости от характера неисправности также требует различного случайного времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. Пусть статистика показала, что время ремонта подчиняется экспоненциальному закону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать m = 2,5 радиоаппарата. Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту радиоаппаратуры, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.

    Решение: За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

    1. Определим параметр

    a = l*

= 10* = 4,

    так как a < n, то очередь не может расти безгранично.

    2. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна :

    P₀=

0,013.

    3.  Вероятность того, что все мастера  заняты ремонтом:

    P_n=

= 0,554

    Это означает, что 55,4% времени мастера  полностью загружены работой.

    4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата:

    Т_об =

= = 2,8 ч/аппарат

    (при  условии семичасового рабочего  дня).

    5. В среднем время ожидания каждого  неисправного аппарата начала ремонта равно:

    t_ож=

= 1,55 ч.

    6. Очень важной характеристикой  является средняя длина очереди,  которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта:

    

    7. Определим среднее число мастеров, свободных от работы:

    

    Таким образом, в среднем в течение  рабочего дня ремонтом заняты четыре мастера из пяти.

 

    Заключение

 

    В настоящее время с развитием  значения экономики в мире и увеличением  числа изменяющихся характеристик  для производителей требуются все более точные экономические рекомендации. Для ответа на вопросы, возникающие при осуществлении массового обслуживания, и создаются модели. Процесс их построения – моделирование.

    Моделировать  можно любой объект любой сложности, и именно моделирование дает порой те результаты, которые нельзя получить никаким другим способом.

    Для начала моделирования необходимо: