Если  же в СМО характер потоков отличен  от пуассоновского, то ее характеристики эффективности можно определить приближенно с помощью марковской теории массового обслуживания, причем тем точнее, чем сложнее СМО, чем больше каналов обслуживания. В большинстве случаев для обоснованных рекомендаций по практическому управлению СМО совсем не требуется знаний точных ее характеристик, вполне достаточно иметь их приближенные значения.

  Эффективность функционирования СМО характеризуют  три основные группы показателей:

  1) эффективность использования СМО  — абсолютная или относительная пропускные способности, средняя продолжительность периода занятости СМО, коэффициент использования СМО;

  2) качество обслуживания заявок  — среднее время (среднее число  заявок, закон распределения) ожидания заявки в очереди или пребывания заявки в СМО; вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания; вероятность того, что поступившая заявка немедленно примется к исполнению;

  3) эффективность функционирования  пары «СМО — потребитель», причем  под потребителем понимается  как совокупность заявок или  их некоторый источник (например, средний приносимый СМО за единицу времени эксплуатации, и др.).

    1.2 Классификация СМО

    В зависимости от совокупности специфических  факторов СМО можно классифицировать следующим образом:

• одно- и многоканальные СМО с ожиданием;
• одно- и многоканальные СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди;
• многоканальные СМО с ограничением времени ожидания и без ограничения на длину очереди;
• замкнутые одно- и многоканальные СМО и разомкнутые СМО;
• многоканальные СМО с отказами и взаимопомощью между каналами типа «все как один»;
• многоканальные СМО с ожиданием и взаимопомощью между каналами типа «все как один»;
• многоканальные   СМО с  ожиданием,  ограничением по типу очереди и взаимопомощью между каналами типа «все как один»;
• многоканальные СМО с отказами и «равномерной» взаимопомощью между каналами;
• многоканальные СМО с ожиданием и «равномерной» взаимопомощью между каналами;
• многоканальные СМО с ожиданием, ограничением на длину очереди и «равномерной» взаимопомощью между каналами;
• по характеру потоков — марковские и немарковские;
• по количеству этапов обслуживания — на одно- и многофазные СМО.

  Кратко  рассмотрим особенности функционирования некоторых из этих систем.

    1. СМО с ожиданием характеризуется тем, что в системе из n (n > 1) каналов обслуживания любая заявка, поступившая в СМО в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания, причем любая пришедшая заявка будет обслужена. Такая система может находиться в одном из бесконечного множества состояний:

s_k (k = 0,1,..., п) — k каналов заняты и очереди нет; s_n+r (r = 1,2,...) — все каналы заняты и в очереди находится г заявок (r ). Граф состояний рассматриваемой СМО имеет вид рис. А.

  2. СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди отличается от вышеприведенной тем, что эта система может находиться  в  одном   из  n + m  +  1 состояний.   В состояниях   s0,  s1,..., sn очереди не существует, так как заявок в системе или нет вообще и каналы свободны (s0), или в системе есть несколько i (i 1,..., n) заявок, которые обслуживает соответствующее число каналов, но очереди все равно в системе нет. В состояниях s_n+1, s_n+2, … , s_n+m в системе имеется соответствующее (n+1, n+2,..., n+r,…,n+m) число заявок и (1, 2,..., r,..., m) заявок, стоящих в очереди.

Заявка, пришедшая на вход СМО в момент времени, когда в очереди стоят  уже m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной. Граф состояний СМО можно представить в виде рис. б.

  3. На практике могут встречаться  так называемые СМО с нетерпеливыми заявками (с ограничением на время ожидания в очереди и без ограничения на длину очереди), имеющие место при специфических ограничениях, налагаемых на порядок проведения банковских операций, например, на срочность и приоритетность обслуживания крупных и солидных клиентов, исполнения платежей и т. п. Граф состояний такой СМО приведен на рис. в.

   4. Разомкнутые СМО, когда источник требования находится вне системы.

  Примером  разомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров. Здесь неисправные телевизоры — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограниченным.

  5. Замкнутые СМО.

  К ним относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а, следовательно, источником требований на их обслуживание, например, бригадой наладчиков.

  Все рассмотренные выше СМО характеризуются одним общим свойством, состоящим в том, что входящий поток заявок и его интенсивность не зависят от состояний системы, так как источник поступающих заявок находится вне системы. Если же интенсивность потока поступающих заявок определяется состоянием конкретной системы, то такие системы называются замкнутыми СМО.

  Такая система может содержать конечное число источников заявок, каждый из них может находиться в одном  из двух состояний — активном (состояние, при котором уже обслужена поданная им последняя заявка) или пассивном (состояние, при котором поданная источником последняя заявка еще не обслужена; она либо стоит в очереди, либо находится под обслуживанием). В активном состоянии источник может подавать заявки, в пассивном — не может. Отсюда интенсивность общего потока заявок зависит от того, сколько источников находится в пассивном состоянии, и связана с процессом обслуживания (стоит в очереди или непосредственно обслуживается).

  Граф  состояний подобной замкнутой многоканальной СМО (рис. г) может включать в себя следующие состояния: s0 — все i источников находятся в активном состоянии, все n каналов свободны, очереди нет; s1 — один источник находится в пассивном состоянии, один канал занят обслуживанием заявки, поданной этим источником, остальные i—1 источников находятся в активном состоянии, n - 1 каналов свободны, очереди нет; s2 - 2 источника находятся в пассивном состоянии, два канала заняты, i - 2 источника в активном состоянии, n - 2 канала свободны, очереди нет; .... Sn —все n источников находятся в пассивном состоянии, все л каналов заняты, i-n источников в активном состоянии, очереди нет; S_n+1 - n+1 источников находятся в пассивном состоянии, n каналов — заняты, одна заявка в очереди, i-(n+1) источников находятся в активном состоянии;... S_t — все i источников находятся в пассивном состоянии, n каналов заняты, i—n заявок в очереди.

   Все ранее рассмотренные СМО имели  то свойство, что каждая заявка могла  обслуживаться только одним каналом, что на практике соблюдается не всегда, и есть такие СМО, в которых одна и та же заявка может обслуживаться несколькими каналами. Каналы работают с взаимопомощью типа «все как один», т. е. при появлении первой заявки ее начинают обслуживать все n каналов, которые будут заняты до полного исполнения заявки. Если во время занятости каналов поступает заявка, то она получает отказ и покидает систему. После завершения обслуживания все n каналов оказываются свободными, пока не поступит следующая заявка, на обслуживание которой переключатся опять все каналы и т. д.

  Таким образом, многоканальная СМО работает по сути как одноканальная, когда все n каналов работают как один с дисциплиной взаимопомощи, называемой «все как один», но с более высокой интенсивностью обслуживания. Граф состояний подобной системы (рис. д) содержит всего два состояния: S₀ (S₁) -все n каналов свободны (заняты).

    Анализ  различных видов СМО с взаимопомощью  типа «все как один» показывает, что такая взаимопомощь сокращает среднее время пребывания заявки в системе, но ухудшает ряд других таких характеристик, как вероятность отказа, пропускная способность, средние число заявок в очереди и время ожидания их выполнения. Поэтому для улучшения этих показателей используется изменение дисциплины обслуживания заявок с «равномерной» взаимопомощью между каналами следующим образом: а) если заявка поступает в СМО в момент времени, когда все каналы свободны, то все л каналов приступают к ее обслуживанию; б) если в это время приходит следующая заявка, то часть каналов переключается на ее обслуживание; в) если во время обслуживания этих двух заявок поступает третья заявка, то часть каналов переключается на обслуживание этой третьей заявки и т.д., до тех пор, пока каждая заявка, находящаяся в СМО, не окажется под обслуживанием только одного канала. При этом заявка, подпившая в момент занятости всех каналов, в СМО с отказами и «равномерной» взаимопомощью между каналами (рис. е), может получить отказ и вынуждена покинуть систему необслуженной, в других комбинациях более сложных СМО может или ожидать я очереди определенной длины (СМО с ожиданием, ограничением на длину очереди и «равномерной» взаимопомощью между каналами, рис. ж), или находиться в ней сколько угодно длительное время (СМО с ожиданием и «равномерной» взаимопомощью между каналами, рис. з).

    Таким образом, учет специфики моделей  разновидностей СМО в практической деятельности субъектов рынка позволяет пронести более глубокий анализ особенностей функционирования сложных систем и оценить их качество и эффективность с получением конкретных количественных оценок, вскрыть имеющиеся резервы и возможности по оптимизации протекающих процессов, экономии финансовых и прочих ресурсов, снижению рисков в условиях неопределенности деловой внешней и внутренней среды.  

    Возможны  и другие признаки классификации  СМО, например, по дисциплине обслуживания, однофазные и многофазные СМО и др.

    Методы  и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условно разделить на аналитические и имитационные.

    Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических.

    В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим.

    Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t ровно k требований задается формулой:

  Простейший  поток обладает тремя основными  свойствами: ординарности, стационарности и отсутствием последействия.

  Ординарность  потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков.

  Стационарным  называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим А), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени At зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

  Отсутствие  последействия  означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток времени от t до t + ∆t.

  Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити и он устранен ткачихой, то это не определяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий  момент или нет, тем  более это не влияет на вероятность возникновения обрыва на других станках.

  Важная  характеристика СМО — время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид: