Практическое применение моделей множественной регрессии

 

    Построение  множественной регрессии методом  МНК имеет вид:

      Чтобы узнать, насколько линейная функция  точнее воспроизводит изучаемую  зависимость, вычислим коэффициенты парной линейной корреляции. Матрица парных коэффициентов корреляции представлена в таблице 2.

      Таблица 2

      Матрица парных коэффициентов показывает, что  существенными являются не все факторы. Очень маленькое влияние на доходность оказывает объем выпуска и курс доллара. Это можно объяснить тем, что информация по объемам выпуска не текущий момент труднодоступна для инвесторов, а курс доллара учитывается в цене на нефть. Эти факторы исключим из модели.

      Далее полученную модель проверим на мультиколлинеарность. Для проверки найдем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между оставшимися  факторами

, следовательно, мультиколлинеарность  между факторами отсутствует. 

      Построение  линейной множественной модели для оставшихся факторов осуществляется МНК и имеет вид:

      

      Коэффициент регрессии перед каждой переменной показывает изменение величины доходности акции при изменении переменной на единицу, если другие переменные остаются неизменными.

      График  модели множественной регрессии  представлен на рисунке 1.

      

      рис.1

      Для оценки влияния факторного признака на результативный рассчитывается коэффициент эластичности в целом для всей совокупности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле:

      

       , , т.е. с ростом индекса рынка ММВБ на 1% доходность акции ОАО Лукойл в cреднем возрастет на 1,1%, а с ростом цены на нефть на 1% доходность возрастет на 0,95%.

     На  основе матрицы вычисляем стандартизованные  коэффициенты по формуле

     

      ,

     Далее вычислим коэффициент детерминации по формуле

     

    Коэффициент множественной детерминации . Это значит, что факторы влияют на изменение доходности акций на 70%, а 30% - влияние факторов, неучтенных в модели.

    Найдем  среднюю ошибку аппроксимации

    

    В среднем расчетные значения отклоняются  от фактических на 9,6%, что не превышает допустимый предел 8-10%, значит, построенная модель обладает удовлетворенным качеством.

      Проверим  наличие автокорреляции остатков через  коэффициент корреляции между остатками  и , где - остатки текущих наблюдений, - остатки предыдущих наблюдений. Он может быть определен по формуле

      

      Коэффициент корреляции между остатками  , демонстрирует отсутствие автокорреляции остатков.

      Оценим  нарушение гомоскедастичности методом Гольфельда-Квадта:

     Шаг 1. Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной x

     Шаг 2.Исключим из рассмотрения C=20 центральных наблюдений

     Шаг 3. Распределим совокупность на 2 группы с малым и большим значением факторов x

      

     Шаг 4. Определим остаточные суммы квадратов  для первых и вторых групп и  их отношения.

     

     

Сравним эти значения с критическим. =4,2838. Оба значения меньше критического,  следовательно, гетероскедастичность отсутствует.

     Построим графики остатков

      

      рис.2 

      Остатки  на графике не имеют направленности, значит, они представляют собой случайные величины, т.е. теоретические значения хорошо аппроксимируют фактические значения y.

     

     рис.3

     

     рис.4

     Остатки независимы от значений , т.к. не имеют направленности.

     Для оценки надежности, построенной модели определим  -критерий по формуле

     

Получим = 78,53717, (0,05,3,65)= 2,745915. Сравним расчетные данные с критическими. Так как > , то с вероятностью 95% можно утверждать, что регрессия в целом значима, т.е. существует зависимость доходности акций ОАО Лукойл от индекса рынка и изменения цен на нефть.

     Оценка значимости параметров множественной регрессии  , b_1, b₂ с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения  коэффициента

     ,  где

     =0,09  =0,089

      = 8, 4,  = 2,4, =1,99

Для всех больше , это говорит о том, что - статистики значимы. Экспериментальное значение для параметра , меньше критического, следовательно, этот параметр незначим, принимаем его равным нулю.

Рассчитаем  доверительные интервалы для  параметров

  0,029121514

0,088973791

Тогда параметры b_i могут изменятся в интервале:

    b₁ = b₁ ± Δ b₁ = 0,785 0,029 или

    b₂ = b₂ ± Δ b₂ = 0,217 0,089 или

Рассчитаем  доверительные интервалы параметра  a:

    

    

    Доверительный интервал составит:

 -0,000339141

    Тогда параметр a может изменятся в интервале:

     , т.к. нижняя граница интервала  отрицательная, а верхняя положительная, то принимаем параметр а равным 0, т.к. он одновременно не может быть положительным и отрицательным.

    Получим модель

      Далее проведем анализ зависимости факторов от времени, и выберем  модель, при  которой коэффициент детерминации максимален.

      Трендовая форма зависимости цен на нефть WTI представлена на рисунке

      

      рис.5

Наибольшее  значение , при полиномиальной форме. Уравнение имеет вид: .

Трендовая форма зависимости индекса рынка ММВБ

 

      рис.6

Наибольшее значение , при полиномиальной форме. Уравнение имеет вид: .

      Для прогнозирования производственной себестоимости продукции на 2 месяца, рассчитаны точечные прогнозы по отдельным видам затрат на основе трендовых моделей. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени , соответствующей периоду упреждения: , и т.д. Результаты прогнозирования представлены в таблице