5)Случайное отклонение независимо от объясняющих переменных

    6) отсутствие мультиколлениарности (Отсутствует  строгая связь между объясняющими  переменными)

    7)Ошибки  имеют нормальное  распределение

     Находим частные производные первого  порядка и после преобразования получаем систему нормальных уравнений:

           

     которую представим в матричной форме

     (Х^ТХ)В = X^TY,  где

     В - вектор-столбец коэффициентов уравнения регрессии;

     X - матрица значений факторов;

     Y - вектор-столбец функции отзыва;

     X^Т - транспонированная матрица X.

     При  = 1, , они соответственно равны:

               

               

     Каждый  коэффициент уравнения регрессии  вычисляется по формуле:

     

     Метод наименьших квадратов применим и  к уравнению множественной регрессии  в стандартизированном масштабе:

     

Применяя МНК к уравнению множественной  регрессии в стандартизированном  масштабе, получим систему нормальных уравнений вида:

 

     где и – коэффициенты парной и межфакторной корреляции.

     Коэффициенты  «чистой» регрессии  связаны со стандартизованными

коэффициентами  регрессии  следующим образом:

     

     Поэтому можно переходить от уравнения регрессии  в стандартизованном масштабе к  уравнению регрессии в натуральном  масштабе переменных, при этом параметр a определяется как

     

     Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов  регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением 

     3. Проверка существенности факторов и показатели качества регрессии

    Практическая  значимость уравнения множественной  регрессии оценивается с помощью  показателя множественной корреляции и его квадрата – показателя детерминации.

    Показатель  множественной корреляции характеризует  тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

    

,     

     где – общая дисперсия результативного признака; – остаточная дисперсия. Границы изменения индекса множественной корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:

     

     При правильном включении факторов в  регрессионную модель величина индекса  множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Отсюда ясно, что, сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

     При линейной зависимости признаков формула индекса множественной корреляции может быть представлена следующим выражением:

     

     где – стандартизованные коэффициенты регрессии; – парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

     Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции.

     Показатели  частной корреляции представляют собой  отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

     В общем виде при наличии p факторов для уравнения коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на y фактора , при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

                         

     где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора .

     В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. Их используют на стадии формирования модели.

     Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

     

     где  – факторная сумма квадратов на одну степень свободы; – остаточная сумма квадратов на одну степень свободы; – коэффициент (индекс) множественной детерминации; m – число параметров при переменных x (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов); n – число наблюдений.

     Оценивается значимость не только уравнения в  целом, но и фактора, дополнительно  включенного в регрессионную  модель. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно  увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный F-критерий.

     Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. В общем виде для фактора частный F-критерий определится как

     

где – коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов, – тот же показатель, но без включения в модель фактора , n – число наблюдений, m – число параметров в модели (без свободного члена).

     Фактическое значение частного F-критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и . Если фактическое значение превышает , то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то дополнительное включение в модель фактора не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака y, следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

     С помощью частного F-критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор вводился в уравнение множественной регрессии последним.

     Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов чистой регрессии. Зная величину , можно определить и t-критерий для коэффициента регрессии при i-м факторе, , а именно:

     

 

     Оценка  значимости коэффициентов чистой регрессии  по t-критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных F-критериев. В этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется формула:

     

     где – коэффициент чистой регрессии при факторе , – средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии .

     Для уравнения множественной регрессии  средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена по следующей формуле:

     

,

     где – среднее квадратическое отклонение для признака y, – среднее квадратическое отклонение для признака , – коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии, – коэффициент детерминации для зависимости фактора со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии; – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

     Взаимосвязь показателей частного коэффициента корреляции, частного F-критерия и t-критерия Стьюдента для коэффициентов чистой регрессии может использоваться в процедуре отбора факторов. Отсев факторов при построении уравнения регрессии методом исключения практически можно осуществлять не только по частным коэффициентам корреляции, исключая на каждом шаге фактор с наименьшим незначимым значением частного коэффициента корреляции, но и по величинам и . Частный F-критерий широко используется и при построении модели методом включения переменных и шаговым регрессионным методом. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     4. Построение и описание линейной модели множественной регрессионной.

 

    Имеются помесячные данные по доходностям акций  ОАО Лукойл в период с января 2005г. по октябрь 2010г, изменение индекса рынка акций, изменение цен на нефть и изменение курса доллара. Данные представлены в таблице 1

    Таблица 1