x_ij = a_ijx_j , (i,j = 1,2,...,n), 

     вследствие  чего построенная на этом основании  модель межотраслевого баланса получила название линейной.

     Теперь  соотношения баланса примут вид: 

     x_i = (a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n) + y_i , (i = 1,2,...,n), 

     Обозначим

     где

     X - вектор валового выпуска; 

     A - матрица прямых затрат (технологическая  или структурная матрица);

     Y - вектор конечного продукта.

     Тогда соотношения баланса можно записать в виде: 

     X = AX + Y. 

     Основная  задача межотраслевого баланса состоит  в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

     Перепишем матричное уравнение в виде: 

     (E - A) X = Y. 

     Если  матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда: 

     X = (E - A)^-1 Y. 

     Матрица S = (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат.

     Чтобы выяснить экономический смысл элементов  матрицы S = (s_ij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта.

     Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

     В соответствии с экономическим смыслом  задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i и a_ij.

     Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

     Существует  несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит  о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. 

     Задача 

     В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.: 

 

     Вычислить необходимый объем валового выпуска  каждой отрасли, если конечное потребление  энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

     Решение

     Имеем  

     x₁ = 100, x₂ = 150, x₁₁ = 7, x₁₂ = 21, x₂₁ = 12, x₂₂ = 15, y₁ = 72, y₂ = 123.

 

      По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат: a₁₁ = 0,07; a₁₂ = 0,14; a₂₁ = 0,12; a₂₂ = 0,10.

       
 
 
 

     Т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

     max {0,17 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

     Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)^-1 Y. 

     Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)^-1:

 

     Так как |E - A| = 0,8202, то

 

     По  условию вектор конечного продукта:

 

     Тогда по формуле X = (E - A)^-1 Y получаем вектор валового выпуска:

 

     т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

 

      4. Линейная модель  обмена (модель международной  торговли)

 

     В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

     Пусть имеется n стран S₁ , S₂ , ... , S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁ , x₂ , ... , x_n. Обозначим коэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е. 

     a_1j + a_2j + ... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n). 

 

     Рассмотрим  матрицу которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

     Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит: 

     p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n. 

     Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: 

     p_i > = x_i (i = 1,2,...,n). 

     Если  считать, что p_i > x_i (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств: