Для данной курсовой работы, более подробно, рассмотрены детерминированные модели управления запасами. Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить достаточно универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этом разделе модели соответствуют некоторым системам запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами [3].

       В этом разделе обсуждается пять моделей. Большинство из них однопродуктовые, и только в одной из них учитывается  влияние нескольких «конкурирующих» видов продукции. Основное различие между моделями определяется допущением о  характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зрения формулировки и решения задачи является  также вид функции затрат. Используются различные методы решения, включающие классическую схему оптимизации, линейное и динамическое программирование. Эти примеры наглядно показывают, что при решении задач управления запасами следует применять различные методы оптимизации [14].    

       1.3 Статические модели управления запасами

       1.3.1 Классическая  задача экономичного размера заказа (модель Уилсона)

 

       Простейшие  модели управления запасами характеризуются  постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствие дефицита.

       Модель  Уилсона, в определенном смысле классическая, основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, который минимизирует расходы на оформление заказа, доставку и хранение товара.

       Введем  обозначения:

       у – объем заказа (количество единиц продукции);

       D – интенсивность спроса (измеряется в единицах продукции на единицу времени);

         – продолжительность  цикла заказа (измеряется во временных  единицах).

       Экономическая партия товара вычисляется при следующих  упрощениях реальной ситуации:

• уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью спроса D, и в тот момент, когда все запасы товара исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии;
• выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения равного y;
• накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине;
• ежедневная стоимость хранения единицы товара равна постоянной величине.

       Данная  политика проводимая складом характерна для тех случаев, когда интенсивность потребления запасов близка к постоянной величине, а поставки производятся регулярно.

       Продолжительность цикла заказа: 

       

 единиц времени. 

       Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу  времени) равна D.

Наивысшего  уровня запас достигает в момент поставки заказа размером y (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя y/D единиц времени после получения заказа размером у. Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать заказы, в соответствии с рисунком 4.

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 4.Изменение запаса в классической модели 

       Средний уровень запаса определяется соотношением единиц. Для построения функции затрат требуется два стоимостных параметра:

       К – затраты на оформление, связанные с размещением заказа;

       h – затраты на хранение (затраты на единицу складируемой продукции в единицу времени).

       Суммарные затраты в единицу времени (обозначается TCU) можно представить как функцию от у в следующем виде: 

         

       Оптимальное значение объема заказа у определяется путем минимизации по у функции TCU(y). Предполагая, что у является непрерывной переменной, получаем необходимое условие минимума (в виде уравнения), из которого можно найти оптимальное значение у: 

         

       Это условие является также и достаточным, так как функция TCU(y) выпуклая. Решение данного уравнения определяет экономичный объем заказа :

         

       Оптимальная стратегия управления запасами для  рассмотренной модели формируется  следующим образом:

       заказывать единиц продукции через каждые единиц времени.

       В действительности пополнение запаса не может произойти мгновенно в  момент размещения заказа, как предполагалось ранее. Для большинства реальных ситуаций существует положительный  срок выполнения заказа L (временное запаздывание) от момента его размещения до реальной поставки, как показано на рисунке 5. В этом случае точка возобновления заказа имеет место, когда уровень запаса опускается до LD единиц [15]. 
 
 
 
 
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 5. Точки возобновления заказа в классической модели 

       На  рисунке 5 представлено изменение уровня запаса во времени при условии, что срок выполнения заказа L меньше продолжительности цикла заказа , что в общем случае выполняется не всегда. В противном случае определяется эффектный срок L, выполнения заказа в виде: 

       

,

       где n – наибольшее целое, не превышающее L/ .  

       Такое решение оправдывается тем, что  после n циклов (длиной каждый) ситуация управления запасами становится такой же, как если бы интервал между размещением одного заказа и получением другого был равен . Следовательно, точка возобновления заказа имеет место при уровне запаса единиц продукции, и стратегия управления запасами может быть переформулирована следующим образом: заказать единиц продукции, как только уровень запаса опускается до единиц [16]. 

       1.3.2 Задача экономичного размера заказа с разрывами цен

 

       Эта модель управления запасами отличается от рассмотренной выше тем, что продукция может быть приобретена со скидкой, если объем заказа у превышает некоторый фиксированный уровень q; таким образом, стоимость единицы продукции с определяется как: 

       

       где . 

         Следовательно, затраты на приобретение продукции в единицу времени равны:  

         

       Используя обозначения из пункта 1.2.1, запишем общие затраты в единицу времени следующим образом: 

         

       Графики функций  и представлены на рисунке 6.  

         
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 6. Графики функций затрат 

       Так как значения этих функций отличаются только на постоянную величину, то точки их минимума совпадают и находятся в точке: 

         

       График  функции затрат , если идти от минимальных значений аргументов, совпадает с графиком функции до точки , в которой меняется цена продукции, а затем совпадает с графиком функции . На рисунке 666 показано, что определение оптимального объема заказа зависит от того, где находится точка разрыва цены q по отношению к указанным на рисунке зонам I, II и III, которые определены как интервалы соответственно. Величина определяется из уравнения: 

       

       или

         

       Отсюда  получаем квадратное уравнение относительно Q: 

         

       На  рисунках 7-9 показано 3 случая того, как определяется оптимальное значение : 

       

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 7. Случай первый 

         
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 8. Случай второй 
 
 
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 9. Случай третий 

       Алгоритм  определения  можно сформировать в следующем виде:

       этап 1. Вычисляем Если q попадает в зону I, полагаем  . В противном случае переходим к этапу 2;

       этап 2. Находим Q из уравнения  
и определяем зоны II и III. Если q находится в зоне II, полагаем  . Иначе q находится в зоне III, тогда [15]. 

       1.3.3 Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

 

       Эта модель рассматривает задачу управления запасами n различных товаров, которые хранятся на одном складе ограниченной вместимости. Характер изменения запаса каждого товара в отдельности определяется функцией, показанной на рисунке 4; предполагается, что дефицит отсутствует. Отличие от ранее рассмотренных моделей состоит в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное складское пространство [17].

       Определим для товара следующие параметры:

         интенсивность  спроса;

         стоимость размещения заказа;

        стоимость хранения единицы товара в единицу  времени;

        объем заказа;

        необходимое пространство для хранения единицы  товара;

        максимальное  складское пространство для хранения товаров n видов.

       При отсутствии дефицита математическая модель сформулированной задачи имеет следующий  вид:

       Минимизировать  при ограничениях: