Алгоритмы решения задач систем массового обслуживания

    Арендная  плата в месяц составляет 10000 руб. Коммунальные услуги составляют 2000 руб. Налоги составляют 5670 руб.

    Средний размер покупки – 100 руб.

    Определить:

     а) Минимальное количество контролеров-кассиров n_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=n_min и прибыль фирмы при этих условиях.

     б) Оптимальное количество n_опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как C_отн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n_min и n=n_опт. Определить прибыль фирмы при n=n_опт.

     в) Вероятность того, что в очереди  будет не более трех покупателей.

     2.1.2 Решение задачи

    Задача  представляет собой яркий пример СМО с ожиданием.

    Необходимо  найти:

     А). Минимальное количество контролеров-кассиров n_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=n_min и прибыль фирмы при этих условиях.

1. Находим среднее число занятых каналов по формуле 1.16.

     По  условию l=81 (1/ч)=1.35 (1/мин).

     

    Очередь не будет расти до бесконечности  при условии, что среднее число  занятых каналов будет меньше, чем реальное количество кассиров. На числовой оси наименьшее натуральное целое число, большее, чем 2,7, есть число 3. Значит минимальное количество кассиров =3.

2. Рассчитаем основные характеристики этой СМО с количеством кассиров =3.
• Вероятность того, что канал свободен. По формуле (1.12) получаем:

      

     Таким образом, можно заключить, что 2,5% времени  касса свободна.

• Вероятность того, что заявка окажется в очереди, рассчитаем по формуле 1.15:

• Среднее число  заявок в очереди. Воспользовавшись формулой 1.16, получаем:

• Среднее время  ожидания в очереди 

• Среднее число  заявок в системе 

3. Рассчитаем  прибыль фирмы при этих условиях.

    Прибыль = выручка – себестоимость. На себестоимость продукции отнесем заработную плату 3х кассиров, амортизационные отчисления от использования основных средств (кассовые аппараты), материальные затраты на канцелярию, арендную плату, затраты на коммунальные услуги, а также начисленные предприятию налоги. При расчете заработной платы будем считать, что фирма работает без выходных, а отчетный период равен 30 дням.

     З/П. 3х кассиров = 3 кассира*5 т.р.=15 т.р.

     Начислена амортизация основных средств:

      т.р.

     Материальные  затраты на канцелярию 150*3=0,45 т.р.

     Арендная  плата = 10 т.р.

     Затраты на коммунальные услуги = 2 т.р.

     Начисленные предприятию налоги = 5,670 т.р.

    Значит  себестоимость по осуществлению  предпринимательской деятельности предприятия = 15+3+0,45+10+2+5,670=36,12 т.р.

    Рассчитаем  выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек.

    Теперь  можем определить размер выручки: т.р.

    Прибыль = 5103–36,12 =5066,88 т.р.

    Б). Оптимальное количество n_опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как C_отн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n_min и n=n_опт. Определить прибыль фирмы при n=n_опт.

    При n=3 относительная величина затрат, выражаемая как C_отн. = , будет равна C_отн= .

    Рассчитаем  относительную величину затрат при  n=4,5,6,7 и представим их в сводной таблице.

     N=4

     

     

     

     

     

     N=5

     

     

     

     

     

     N=6

     

     

     

     

     

     N=7

     

     

       

     

     Таблица 2. Сравнительные характеристики СМО  с числом каналов обслуживания n = 3,4,5,6,7

 

     Минимальное выражение относительная величина затрат принимает при n=6, значит .

     Из  таблицы видно, что характеристики системы с шестью каналами обслуживания заметно уменьшились: вероятность  того, что канал свободен, увеличилась  в 2,12 раза; среднее время ожидания в очереди сократилось на 5,716 минуты; затраты на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей уменьшились в 3,964 раза. Это говорит о несомненном росте эффективности функционирования СМО при увеличении обслуживающих каналов с 3х до 6 ти.

     Теперь  рассчитаем прибыль для СМО с  количеством обслуживающих каналов n=6.

     З/П. 6 кассиров*5 т.р. = 30 т.р.

     Начислена амортизация основных средств:

      т.р.

     Материальные  затраты на канцелярию 150*6=0,90 т.р.

     Арендная  плата = 10 т.р.

     Затраты на коммунальные услуги = 2 т.р.

     Начисленные предприятию налоги = 5,670 т.р.

     Значит  себестоимость по осуществлению  предпринимательской деятельности предприятия = 30+6+0,9+10+2+5,670=54,57 т.р.

     Рассчитаем  выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек.

     Теперь  можем определить размер выручки: т.р.

     Прибыль = 10206–54,57 =10151, 43 т.р.

     Прибыль предприятия, не смотря на рост себестоимости, возросла в два раза.

     В). Для расчета вероятности того, что в очереди окажется не более  трех покупателей для СМО с  количеством обслуживающих каналов  n=6, будем иметь ввиду, что эта вероятность будет складываться из вероятности того, что заняты все шесть каналов обслуживания и вероятности того, что в трех из них ждут своей очереди по одному человеку.

     Значит

      , где каждое слагаемое найдем  по формулам (1.13) – (1.14).

     Итак,

     

      0,1413+0,1932+0,1739+0,1174+0,063+0,0285+0,0128+0,0059+0,0026=0,7386

     Таким образом, вероятность  того, что в очереди  окажется не более  трех покупателей, равна 73,86%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение

    В последние десятилетия существенно  расширились возможности исследования операций не столько за счет создания новых методов, сколько за счет фантастического  увеличения возможностей компьютера. Так задача целочисленного линейного  программирования, требовавшая для своего решения до трех часов машинного времени сейчас решается в считанные минуты.

    Соответственно, появилось достаточно много компьютерных разработок, позволяющих пользователю, не слишком искушенному в области  математики и не умеющему писать программы даже на уровне обычных алгоритмических языков, успешно решать задачи исследования операций.

    Решенная  задача в ходе курсового проекта  системы массового обслуживания является актуальной на сегодняшний день, так как предоставляет большие возможности для анализа работы системы и принятия решений в различных ситуациях на практике. 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список  литературы

1. М.А. Тынкевич. Экономико-математические методы (исследование операций). Издание второе (исправленное и дополненное). Кузбасский государственный технический университет. Кемерово, 2000.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика. 2001.
3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций. М.: «Экзамен», 2003.
4. Анализ систем массового обслуживания с использованием программного комплекса «Теория Массового Обслуживания». Методические указания. Издательство ИГЭА. 2001.
5. О.В. Серая. Анализ немарковской системы обслуживания с отказами. Национальный технический университет «ХПИ», Харьков.
6. Александрова Е.А. Теория массового обслуживания в задачах оптимизации. Статья. Вольное экономическое общество России. 2009.
7. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология.
8. Т.Я. Лазарева, И.В. Диденко. Системы массового обслуживания: методические разработки. Тамбов: Тамбовский государственный технический университет. 2001