Числовые ряды

Глава 1 :                                                        Числовые ряды

1. Определение числового  ряда

 

Чтобы найти  сумму бесконечного  числа слагаемых ,необходимо воспользоваться  теорией рядов.

Необходимо  повторить :

1. Последовательность, предел последовательности.
2. Арифметическая и геометрическая прогрессия.
3. Сумма  n-1 членов геометрической прогрессии.

 

Опр: 

Числовым  рядом, называется   бесконечная  сумма  чисел.

         ,где    - члены ряда

  -  общий член ряда  ,

Ряд считается  заданным ,если известно правило  ,по которому для любого номера  n можно записать соответствующий член ряда , т.е можно записать формулу n-ого члена .

Член  ряда – это 

Пример :  

Решение:  
 
 
 

Геометрическая  последовательность ,это      ,  q- это знаменатель. 

Обратная  задача ,по нескольким  членам ряда: 

   ; Важную роль в  теории рядов является  вопрос о сходимости  рядов . 

Сходимость  числового ряда.

Если  ряд сходится, то сумму можно найти , если расходится ,то невозможно.

  обозначим сумму ряда, которая имеет одно слагаемое :    

это сумма состоящая из первых двух  слагаемых :

это сумма ряда , состоящая  из первых трёх слагаемых  :

  это сумма, состоящая  из первых n –слагаемых  ^

Такая сумма  , называется  n-ой частичной суммой ряда

последовательность  частичных сумм;

n-ая частичная сумма - это сумма первых n слагаемых.

Опр:

Если  последовательность  частичных  сумм ряда - имеет конечный предел  (S) ,при n , то ряд называется  сходимым , а чмсло S – называется суммой ряда  

Предел  при , равен S

Говорят : сумма ряда есть предел его частных сумм.

Опр: 

Если  последовательность частичных сумм  ряда не имеет предела  или он равен бесконечности (неограниченно  возрастает) ,то ряд  называется расходимым и суммы не имеет.

Теорема :

Для сходимости  ряда с положительными слагаемыми ,необходимо и достаточно чтобы  последовательность его частных сумм была ограниченной.

Ряд может расходится  и не имеет суммы  в двух случаях:

1. неограничена.
2.   колеблется ,не имеет постоянной величины.

 

Если  ряд (1) сходится ,то разность  между его суммой  S и частичной суммой    равна   , т.е , где - это n- ый остаток ряда, т.е

 

- это та погрешность  ,которая получится  , если  в качестве  приближенного   значения  суммы   ряда S взять сумму первых n слагаемых . 
 

  
Поэтому взяв достаточно  большое число членов  сходящегося ряда, можно сумму этого ряда найти с большой степенью  точности ;отсюда  ясно, что основной задачей теории рядов является исследование ряда  на сходимость, а нахождение суммы ряда – это второстепенная задача.

Пример:

Исследовать ряд на сходимость:

1. 2+17-302,2-168-201,8+360,1-… нет ряда
2. 2+5+8+11+14…-есть закономерность ,это последовательность ,а значит ряд

 

…(3n-1)+…= 

(ряд  расходится)

3. 0+0+0+… - это ряд и он сходится
4. 1+1+1+1… - расходится, равен бесконечности.
5. 1-1+1-1+1-… - расходится ,предел найти невозможно

 

2.     Геометрическая прогрессия 

Опр :

Геометрическая  прогрессия    ()  ,называется такая последовательность чисел, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему умноженному на одно и то же число, которое назывется знаменателем геометрической прогрессии ;

  Пусть ряд состоит  из членов бесконечной  геометрической прогрессии ,

Обозначим  a – первый член ряда ,  q – знаменатель   ,

a+aq+a+a+…+a+a+…=  (геометрический ряд) 

Исследуем геометрический ряд  на сходимость:

Тогда n –первых членов будет иметь вид

 
 

      Формула суммы n- 1  ,

Найдем  предел этой частичной  суммы :

 

1. , то  , значит   -  расходится и его сумма S= 
2. , то    , значит  ряд расходится  и сумму ряда найти невозможно
3.   ,  если q=1  и q=-1

 
 

1. Если  q=1 ,то ряд примет вид :

a+a+a… ,а его частичная сумма 

   

  ряд расходится ,сумму  ряда найти невозможно.

2. Если q=1 , то ряд имеет вид :

a-a+a-a+… , а его частичная сумма   , при n – четная ,   ,при n – нечетном. 

   ряд расходится , сумму ряда найти  невозможно. 

Вывод:    ряд, составленный из членов  бесконечной  геометрической прогрессии  сходится , когда  абсолютная величина  знаменателя меньше  1 . 
 

  , при

Пример:

Исследовать ряд на сходимость и найти сумму  рядов:

 

Решение:

Ряд составлен  из членов бесконечной  геометрической прогрессии ,где  , q=  .

Значит  ряд сходится и  его сумма равна  S=  (сходится)

2.   

 

Решение:

 

Ответ: ряд сходится… 

4. Свойства  сходимости рядов

1. Изменение конечного числа  членов  рядов (приписывание или отбрасывание ) их не изменяет сходимости или расходимости ряда, то ряд полученный путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов,  не изменяется .
2. Сходимость ряда не нарушается ,если все его члены умножить на одно и то же  число k , и выполнятся равенство ,если  сумма ряда равна S  .

Следствие:

Общий множитель ряда можно  вынести за знак суммы.

3. Если два ряда сходятся и их суммы равны соответственно    и    , то и ряд полученный сложением соответствующих слагаемых этих рядов, тоже сходится и его сумма равна

Нахождение  суммы ряда следующим  образом: 
 
 
 
 

Следствие:

 

1. Если ряд   , а ряд   - расходится ,то ряд- сумма (
2. Если оба ряда расходятся, то ряд- сумма может ,как сходится так и расходится .
3. Чтобы ряд-сумма сходился, необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда    

 

Вывод:

Чтобы установить сходимость ряда,  необходимо  вычислить   предел частичной суммы     или  предел       , т.е     ,но это не всегда возможно  ,поэтому пользуются  признаками сходимости рядов .

1.3.  Необходимый  признак сходимости рядов.

Теорема:

1. Если ряд    - сходимости   , то предел его  общего члена равен нулю ,при неограниченном возрастании    ,номера  n (n)  ,т.е предел  общего члена сходящегося ряда стремится к нулю

      

Доказательство: 
 

 
 

Пример: 
Доказать сходимость ряда: 
 

Доказательство:

  Следуя теории  ,найдём  предел n- ого клёна ряда , при 

 

 

сходится  .

Следствие ,(достаточное  условие расходимости ряда)

Если  предел общего клёна  ряда не равен нулю  

   ,

  или этот  предел существует, то ряд расходится.

 

расходится.

Пример:

Доказать  сходимость ряда:

 

  

ряд расходится.

1.4.  Гармонический ряд

Теорема 1:

Выражает  необходимость ,но не достаточное условие  сходимости ряда  .

Примером , служит гармонический  ряд                  (8) 

Опр:

Ряд  (8) называется гармоническим , т.к каждый его  член  .начиная  со второго , представляет собой среднее   гармонических  двух  соседних  членов.

Опр:

Число  с называется средним  гармоническим чисел  a и b  ,если выполняется неравенство: 
 

1.5.  Достаточные признаки  сходимости  положительных   рядов

 

Опр:

Ряд называется  положительным , если все его члены,  его  положительные  члены.

Теорема 2 :  первый признак сравнения)

Пусть даны два ряда с  положительными членами   

   (1) 

и 

  (2)

  , причем члены ряда   (1)  не превосходят членов ряда    (2)  ,  т.е начиная с некоторого номера   n ,  (n

)

  , 

Тогда:

1. Если сходится ряд (2)  .то будет сходится и ряд    (1) 
2. Если расходится ряд   (1)  , то будет расходится  и ряд     (2)

Как правило  ,при доказательстве сходимости  ряда  .с  помощью  теоремы  (2)  ,используют  «эталонные ряды»  для сравнения  их с теми  ,  которые  надо исследовать  на сходимость.

Среди эталонных   рядов   можно назвать:

1. Геометрический ряд:

 

1.    сходится.
2. расходится.

2. Гармонический ряд:
 

3. Обобщенный  гармонический ряд:

 

1. ряд расходится.
2.   ряд сходится.