Числовые ряды

 

Пример:

  сходится ,т.к   

  расходится ,т.к 

Правило применения 1- ого  признака сравнения:

1. Преобразовать данный ряд ,применяя свойства  рядов .чтобы  можно было  подобрать к нему подходящий «эталонный ряд»
2. Выбрать соответствующий «эталонный ряд»
3. Доказать неравенство  
4. Сделать вывод в соответствии с теоремой  (2) 

Пример:

Исследовать ряд на сходимость :

  (1) 

Решение:

1. Представим члены ряда ,так : 
   

Тогда видно ,что члены  ряда имеют  множители ,которые  являются членами  геометрической прогрессии  со знаменателем

 ; Значит  этот  ряд можно сравнить с геометрическим рядом

,  

   (2)  ,который сходится. 

2. Докажем    ,  т.е сравним соответствующие слагаемые первого и второго рядов.

     

Вывод:

Слагаемые ряда   (1) меньше слагаемых ряда   (2)  . По теореме (2)  следует ,что ряд   (2)  (большими членами) сходящийся ,то и ряд   (1)  с (меньшими )   будет сходящийся.  

Ответ: Данный ряд, сходится. 

Трудность данного признака заключается в  том ,что нужно  подобрать не только нужный  «эталонный ряд», но и  доказать  неравенство ,которое  сравнивает клёны  этих двух рядов.

 

3. Достаточный признак сходимости  положительных рядов  (2) признак  сравнения или  предельный признак сравнения.

 

Теорема: (второй признак сравнения  рядов ,предельный  признак сравнения )

Если ряд     и  ряд     --  ряды с положительным членами   и

      

существует   конечный

      

Данный         Эталонный предел отношения  их общих

      

членов  ,равный числу  не равному 0,  то ряды  одновременно , либо расходятся ,либо сходятся

одновременно  сходятся (расходятся)

Правило применения второго  признака сравнения  рядов:

1. Преобразовать данный ряд применения свойства  рядов так ,чтобы можно было  подобрать  к нему   подходящий  «эталонный ряд» .

Эталонный ряд – это ряд  сходимости или расходимости , которого мы  точно  знаем .

2. Выбрать  соответствующий  «эталонный ряд» .
3. Вычислить предел 
4. Сделать вывод  в соответствие с теоремой (3)

 

Пример:

  Исследовать  ряд  на сходимость : 

Решение : 

   , при дробь 

  ,  быстрее,  чем   ,  тогда дробь , можно пренебречь  и данный ряд можно сравнить с гармоническим (расходящимся ) рядом 

  и найти  предел отношений общих членов. 

  ,( расходится)

      

Теорема 4: (Признак  Доламбера)

Пусть для ряда 

 

с положительными членами ,начиная  с некоторого номера  n  ,  существует предел  отношения (n+1)-ого   члена к n – ому .равное к  

Тогда :

1. Если k   ,то  ряд     сходится
2. Если k  ,то ряд   , расходится
3. Если k  ,то  вопрос о сходимости ряда остается не решенным

Замечание :

Если  предел   , или   ,то ряд расходится. 

Пример 1 :

Исследовать  ряд на сходимость 

Решение :

Согласно  теореме 4 :

   ;              ; 

  по теореме 4 (ряд сходится) 

Пример 2 :

Исследовать на сходимость 

Решение :

  Согласно теоремы  4 :    ;   

 по теореме  4 ,ряд расходится . 

Теорема 5 : (радикальный  признак коши)

Если  существует предел для  ряда   с положительными членами ,то :

1. Если   ,  то ряд     сходится.
2. Если    , то ряд расходится.
3. Если   , то  вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример  1 :

Исследовать ряд на сходимость :   

 

по (теореме 5 ,данный ряд сходится ) 

Второй  замечательный предел:   

Теорема 6 :

Пусть дан ряд 

  

,  члены которого  положительны и  не возрастают  (убывают  или постоянны) , т.е   

а функция

    f(x)   определена на интервале  

    ,непрерывна ,монотонна  убывающая  и  ее значение о1,2,3,4,…(т.е   натуральных  х)  равны кленам этого ряда    

f(х) ,на    при

x1,2,3,4,…

f(1)=  ;  f(2)=  ;  f(3)= 

Тогда для сходимости ряда     необходимо  и достаточно , чтобы  сходился несобственный интеграл  

Если   сходится .то и ряд     расходится . 

Например :

Пусть f(x)=   функция при   положительна и невозрастающая   (убывающая  или постоянна)  ,тогда  сходимость ряда  равна сильной сходимости  несобственного интеграла    
 

1. Если  , то    -   ( число  сходится )
2. Если  
3.  

Вывод  : 
 

Пример : исследовать  ряд  на сходимость  

Решение :

Применяя  теорему 6,составим  функцию  f(x)  =  и     интеграл расходится (ряд расходится) 
 

1.6.  Знакочередующиеся   ряды .Признак   Лейбница 
 

Опр :

  Ряд ,в котором   члены попеременно , то  положительны ,то отрицательны ,называются знакочередующимся рядом . 
 

Теорема (признак  Лейбница )

Если  члены знакочередующегося ряда  убывают  по абсолютной величине  и предел  его  общего  члена  при 

 

равен нулю  ,то ряд  сходится , а его  сумма  S  не превосходит первого  члена

Иначе :

Знакочередующийся ряд  сходится ,если :

1. Замечание :

     При четном  n = 2m сумма  ряда  заключена  в промежутке суммой четных  слагаемых   и не четных  
    
   

   1.7.   Знакопеременные  ряды .Достаточный   признак  сходимости  знакопеременных  рядов.

   Знакопеременные ряда являются  частным  случаем  знакопеременных  рядов.

   Опр:

     Ряд ,в котором  любой его член  может быть как  положительным ,так  и  отрицательным,  называется   знакопеременным  рядом  или   рядом с произвольным  чередованием знаков .

   Теорема : (общий  достаточный  признак  сходимости знакопеременного ряда)

     Пусть дан знакопеременный  ряд  :

                      (1) 
   

   Если ряд составлен  из модулей:

      (2) 
   

   Если сходится, ряд составлен из модулей ,то сходится и данный ряд  (1)

   По принципу  Лейбница ,это доказательство просто.

    Например .дан  знакочередующийся ряд   

   По признаку Лейбница ряд сходится ,т.к  

   1.     - члены ряда монотонно убывают.
   2.   ряд сходится и его сумма меньше или равно 1

   Абсолютно и условно  сходящиеся  ряды и их свойства

   Опр  1  :

   Ряд  называется абсолютно  сходящийся ,если  сходится  сам  ряд и ряд  составленный  из абсолютных величин.

   Опр  2  :

   Ряд называется  условно  сходящимся , если сам  ряд сходится  .а ряд  составленный из  абсолютных  величин  расходится.

    

   абсолютно сходящийся

   -

   условно

   Абсолютно  сходящийся ряд сходятся потому что  их члены  быстро убывают  ,а условно  сходящиеся ряды  сходятся ,в результате  того, что их  положительные  и  отрицательные слагаемые  уничтожают друг друга.

   Свойства  абсолютно  сходящихся  рядов:

   1. Если ряд  абсолютно сходится и имеет сумму S ,то ряд полученный из него перестановкой членов , так же сходится и имеет ту же сумму S  .
   2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами      можно почленно складывать (вычитать).

   В результате  получается  абсолютно сходящийся  ряд, который  имеет сумму 

   3. Произведение  двух  абсолютно сходящихся  рядов с суммами    есть  абсолютно  сходящийся  ряд ,сумма которого равна 

   Замечание :

   Суммы абсолютно  сходящихся рядов не зависят от порядка  записи  членов   ,т.е  на них  распространяется  переместительный закон.  Для   условно   сходящихся  рядов перечисленные свойства  не имеют  места.

   Например :

    Дан условно   сходящийся  ряд:

   Переместим  его  члены  так, что  после одного   положительного  члена  или два  отрицательных