Дифференциальные игры преследования с неполной информацией

  Стратегия параллельного сближения

   Пусть точка Е в момент времени t имеет скорость v(t)={v₁(t),v₂(t)}, ||v(t)||≤β<α. Обычно преследователю неизвестно, как дальше будет двигаться точка Е, однако, с точки зрения преследователя, часто наиболее вероятным является продолжением игроком Е движения со скоростью v(t)={ v₁(t), v₂(t)}. Для каждого такого движения существует, очевидно, единственное постоянное управление =(₁, ₂) игрока Р, которое гарантирует ему встречу с точкой Е за минимальное время. Это управление предписывает ему движение по лучу РВ, направленному в точку встречи, которое мы будем называть быстродействием в точку встречи (Рисунок 1).

   Параллельным  сближением (П-стратегией) называется способ преследования точкой Р точки Е, при котором управление игрока Р в каждый момент времени совпадает с управлением, гарантирующим ему    быстродействие в точку встречи.

  П-стратегию  можно определить как вектор-функцию

   (x₁, y₁, x₂, y₂,v)={₁(x₁, y₁, x₂, y₂, v₁,v₂), ₂(x₁, y₁, x₂, y₂,v₁,v₂)},   (1.3)

ставящую  в соответствие каждой паре точек  Р={ x₁, y₁}, Е={ x₂, y₂} и управлению v={v₁,v₂} управление точки Р, гарантирующее быстродействие в точку встречи В. Пусть игрок Е выбирает постоянное управление v(t)с={c₁,c₂}, т.е. перемещается по некоторой полупрямой [E₀,) из точки E₀. Тогда, как это следует из определения П-стратегии, траектория игрока Р, начинающего движение из точки Р₀, также будет полупрямой [Р₀,). Лучи [E₀,) и [Р₀,) пересекаются в точке В встречи игроков Р и Е. Точку, в которой находится игрок Р(Е) в момент времени t обозначим через z₁(t)(z₂(t)) (Рисунок 2) . Тогда отрезок [z₁(t),z₂(t)] при всех t[ 0, t_р] (t_р – время до встречи в точке В) параллелен отрезку Р₀Е₀. Таким образом, при использовании преследователем П-стратегии отрезок, соединяющий игроков Р и Е, в каждый момент времени до встречи параллелен отрезку Р₀Е₀, т.е. перемещается параллельно самому себе. Кроме того, из определения П-стратегии следует, что его длина убывает.

   Пусть Е начинает движение из начала координат и использует некоторое  управление v={v₁,v₂}. Выберем систему координат таким образом, чтобы Р в начальный момент времени находилась в точке z₁(0)={0,α}. Поскольку при использовании П-стратегии отрезок [z₁(t),z₂(t)] остается параллелен отрезку [z₁(0),z₂(0)], то проекции скоростей игроков Р и Е на ось х равны между собой (u₁= v₁). Кроме того, величина скорости игрока Р при параллельном сближении равна α. Это приводит к следующей системе дифференциальных уравнений для определения траекторий игроков при параллельном сближении, когда убегающий использует управление v={v₁,v₂}, v₁=v₁(t, x₁, y₁, x₂, y₂), v₂=v₂(t, x₁, y₁, x₂, y₂) (Рисунок 3):

                      ₁= v₁, х₁(0)=0,

              ₁= - _{, y1}(0)=α,

              ₂= v₁, х₂(0)=0,

              ₂= v₂, y₂(0)=0.

    Управление (1.3) можно найти и чисто  геометрическим способом по следующему  правилу:

1. Построить множество всех точек А, для которых выполняется условие |PA| _=|EA| α. При _< α² таким множеством является окружность Аполлония.
2. Построить луч ЕС, выходящий из точки Е по направлению вектора v={v₁,v₂}. Точка пересечения луча ЕС и окружности Аполлония является, очевидно, точкой встречи В (Рисунок 4). Следовательно, вектор (1.3) направлен по лучу РВ и имеет длину α, т.е

= (x₁, y₁, x₂, y₂,v) =α∙ РВ/|РВ|.

   Оказывается, что при параллельном сближении множество точек встречи  всевозможных движениях убегающей  точки Е имеет интересную геометрическую структуру: оно заполняет круг Аполлония.

  Стратегии погонного преследования

  Пусть заданы точки Р={ x₁, y₁}- преследователь, Е={ x₂, y₂} – преследуемый, перемещающийся в плоскости с ограниченными по модулю скоростями, имея возможность в каждый момент времени изменить направление своего движения. Это означает, что движение точки Р описывается системой дифференциальных уравнений: ₁= u₁, ₁= u₂,   (1.4)

где u₁, u₂ удовлетворяют условию _≤ α².  (1.5)

  Из (1.4), (1.5) следует, что точка Р движется на плоскости с ограниченной скоростью, не превосходящей числа α, и, выбирая  параметр u=( u₁, u₂), может управлять направлением своего движения. Такое движение называется простым движением.

  Будем предполагать, что точка Р преследует точку Е={ x₂, y₂}также совершающую простое движение в той же плоскости:

               ₂= v₁, ₂= v₂,     (1.6)

где  v₁,v₂ удовлетворяют условию _≤ β²     (1.7)

  Движения  точек Р и Е определяются системой:

              ₁= u₁(t, x₁, y₁, x₂, y₂),

               ₁= u₂(t, x₁, y₁, x₂, y₂),            

              ₂= v₁(t, x₁, y₁, x₂, y₂),

              ₂= v₂(t, x₁, y₁, x₂, y₂).

   Целью преследователя Р в самом  простом случае является встреча  с точкой Е, целью Е является избежание  встречи («встреча» - совпадение местоположений Р и Е). Если максимальная скорость точки Р превосходит максимальную скорость точки Е (α>β), то существует множество способов движения Р, при которых он может осуществить встречу с Е. Очевидно, что при этом Р должен знать текущее местоположение убегающего Е. Одним из таких способов является стратегия погонного преследования.

  Говорят, что точка Р преследует точку  Е по погонной линии, если скорость точки Р в процессе преследования  всегда направлена по отрезку РЕ и  максимальна по величине (Рисунок 5). В этом случае для проекций скорости Р имеем следующие формулы:

   u₁(t, x₁, y₁, x₂, y₂)=α  _,            

  u₂(t, x₁, y₁, x₂, y₂)=α _.

  Кривая  x₁= x₁(t), y₁= y₁(t), удовлетворяющая уравнениям (1.8) при управлении (1.9) и некотором фиксированном управлении точки Е, называется погонной линией.

  Пусть кусочно-программная стратегия игрока Р состоит из пары {Δ, u_Δ}, где Δ- некоторое разбиение t₀^Δ=0< t₁^Δ<…< t_n^Δ<… отрезка времени [0,), не имеющее конечных точек сгущения; u_Δ= u_Δ(t, x₁, y₁, x₂, y₂)={u₁^Δ(t, x₁, y₁, x₂, y₂), u₂^Δ(t, x₁, y₁, x₂, y₂) } – любая вектор-функция на множестве R⁵={ t, x₁, y₁, x₂, y₂}, принимающая значение в круге (1.5). Аналогично кусочно-программная стратегия игрока Е состоит из пары {σ, v_σ}, где σ - некоторое разбиение t₀^σ =0< t₁^σ <…< t_n^σ <… отрезка времени [0,), не имеющее конечных точек сгущения; v_σ= v_σ(t, x₁, y₁, x₂, y₂) - любая вектор-функция, принимающая значение в круге (1.7).

  Стратегией  погонного преследования называется стратегия: 

  _Δ=  ,  (1.10) 

  где Δ – некоторое разбиение отрезка  [0,), а функции, стоящие в правой части (1.10), при х₁=х₂, у₁=у₂ можно доопределить произвольным образом.

  На  Рисунке 6 для различных Δ изображены траектории игрока Р, совершающего погонное преследование игрока Е, убегающего по прямой. Можно, очевидно, совершать погонное преследование игрока Е, движущегося

Рисунок 6

по произвольной траектории х₂(t), у₂(t), а не только по ломанной, как это имеет место при применении игроком Е кусочно-программной стратегии. 
 

  1.3.Виды  выигрышей в дифференциальных  играх 

  Каждая  ситуация S={x₀,y₀; u(.),v(.)} в кусочно-программных стратегиях однозначно определяет траектории x(t), y(t) игроков Р и Е. Степень предпочтительности этих траекторий будем оценивать посредством функции выигрыша К, которая каждой ситуации ставит в соответствие некоторое вещественное число – выигрыш игрока Е. Выигрыш игрока Р равен –К. Это означает, что игра антагонистическая, поскольку сумма выигрышей игроков Р и Е в каждой ситуации равна нулю. Рассмотрим игры с функцией выигрыша трех видов: интегральный, терминальный, смешанный.

  Интегральный  выигрыш. В Rⁿ× Rⁿ заданы некоторое многообразие S размерности m и непрерывная функция M(x,y) >0. Пусть в ситуации S={x₀,y₀; u(.),v(.)} t_п - первый момент попадания траектории x(t), y(t) на S.

  Тогда  К(x₀,y₀; u(.),v(.))= _,

  где x(t), y(t) – траектории игроков Р и Е, соответствующей ситуации S.

  Терминальный  выигрыш. Заданы некоторое число Т>0 и непрерывная на {x,y} функция М(x,y). Выигрыш в каждой ситуации S={x₀,y₀; u(.),v(.)} определяется следующим образом: К(x₀,y₀; u(.),v(.))= М(x(T), y(T)),

где x(T)=x(t)|_t=T, y(T)=y(t)|_t=T. Здесь x(t), y(t) – траектории игроков Р и Е, соответствующие ситуации S.

  Смешанный выигрыш. Смешанный выигрыш определяется следующим образом:

    К(x₀,y₀; u(.),v(.))= + М(x(T), y(T))            (1.11).

  Интеграл  берется вдоль траектории, которую  х проходит в ε на протяжении партии; нижний предел интегрирования соответствует начальной точке в ε ; верхний предел есть время окончания игры – когда х достигает ε. Для каждой партии второе слагаемое в (1.11) есть значение функции М в терминальной точке, т.е. в точке, где х встречается с ε и игра оканчивается. Если первое слагаемое в (1.11) равно нулю, то игра имеет интегральный выигрыш; если второе слагаемое в (1.11) равно нулю, то игра имеет терминальный выигрыш.