Дифференциальные игры преследования с неполной информацией

  2.Дифференциальные  игры с неполной  информацией

1. Игры преследования с задержкой информации у игрока Р.

 

  Игры  преследования с неполной информацией являются непосредственным обобщением игр преследования с полной информацией. Наиболее простым случаем неполной информации является такой, при котором игрок Р узнает фазовое состояние игрока Е с запаздыванием d>0, а игрок Е имеет полную информацию.

  Пусть задано некоторое число d>0, называемое задержкой информации. При 0td игрок P в каждый момент времени t знает свое состояние х(t), время t и состояние игрока Е в начальный момент у_о. При dtТ игрок Р в каждый момент t знает свое состояние х(t), время t и состояние у(t—d) игрока Е в момент t—d. Игрок Е в каждый момент времени t знает свое состояние y(t), состояние противника x(t) и время t. Его выигрыш равен ρ(x(T), y(T)). Игра антагонистическая. Обозначим ее через Г(x₀, y₀, t).

  Кусочно-программные  чистые стратегии.

  Под кусочно-программной чистой стратегией v игрока Е будем понимать пару {τ, β}, где τ – разбиение отрезка времени [0,T] конечным числом точек 0= t₁< …< t_s=T и β – отображение, которое каждому состоянию x(t_k), y(t_k), t_k     ставит в соответствие отрезок измеримого программного управления v(t) игрока Е при t[ t_k, t_k+1 ). Под кусочно-программной чистой стратегией u игрока P будем понимать пару {σ, α}, где σ – произвольное разбиение отрезка времени [0, T]  конечным числом точек 0= t₁^'< …< t_k^'=T и α – отображение, которое каждому состоянию x(t_k^'), y(t_k^'d), t_k^' при t_k^' >d ставит в соответствие отрезок измеримого программного управления u(t) игрока P при t[ t_k^', t_k+1^' ). При t_k^' d отображение α каждому состоянию x(t_k^'), y₀, t_k^' ставит в соответствие отрезок измеримого управления u(t) игрока Р при t[ t_k^', t_k+1^' ).

  Игра  развивается в соответствии с уравнениями движения

              =f(x,u),          (2.1)

              =g(y,v),

при этом полагаем выполненными все условия, гарантирующие существование и  единственность решения системы (2.1) на отрезке [0, T] для любой пары измеримых программных управлений u(t), v(t).

  Таким образом, в любой ситуации ( u, v ) при заданных начальных условиях x₀, y₀ функция выигрыша определяется однозначно: К(x₀,y₀; u,v)= ρ(x(T), y(T)), где х(t), y(t) – решение системы (2.1) при начальных условиях x₀, y₀ в ситуации ( u, v ), а ρ – евклидово расстояние.

  Поскольку игра Г(x₀, y₀, T) не является игрой с полной информацией, то, вообще говоря,

  sup inf  К(x₀,y₀; u,v) inf sup К(x₀,y₀; u,v)    (2.2).

  Из  этого следует, что ситуация ε-равновесия в этой игре существует не для всех ε>0.

  Смешанные кусочно-программные  стратегии.

  Расширим  пространства стратегий игроков  Р и Е до так называемых смешанных  кусочно-программных стратегий поведения (СКПСП), которые предполагают возможность  случайного выбора управления на каждом шаге. Далее покажем, что для такого класса стратегий равенство (2.2) выполняется.

  Под СКПСП игрока Р будем понимать пару μ={τ, α}, где τ – произвольное разбиение отрезка времени [0, T] конечным числом точек 0= t₁< …< t_s=T и α – отображение, ставящее в соответствие состоянию x(t_k), y(t_k−d), t_k при t_k>d и состоянию x(t_k), y₀ t_k при t_k≤ d вероятностное распределение α_k , сосредоточенное на конечном числе измеримых программных управлений u(t) при t[ t_k, t_k+1 ). Аналогично под СКПСП игрока Е будем понимать пару ν={σ, β}, где σ – произвольное разбиение отрезка времени [0, T] конечным числом точек 0= t₁^'< …< t_k^'=T и β – отображение, ставящее в соответствие состоянию x(t_k^'), y(t_k^'), t_k^' вероятностное распределение ν_k , сосредоточенное на конечном числе измеримых программных управлений v(t) при t[ t_k^', t_k+1^' ).

  Множества СКПСП игроков Р и Е будем обозначать соответственно через и .

  Каждая  пара СКПСП μ, ν при фиксированных начальных условиях  x₀,y₀ индуцирует распределение вероятностей на пространстве траекторий x(t), y(t), x(0)= x₀, y(0)= y₀, поэтому под выигрышем М(x₀,y₀, μ, ν ) в СКПСП будем понимать математическое ожидание выигрыша К(x₀,y₀; u,v) , усредненное по распределениям на пространствах траекторий, которые индуцируются СКПСП μ, ν.

  Определив пространства стратегий  , и выигрыш М, определили смешанное расширение  (x₀,y₀,T) игры Г(x₀,y₀,T) при начальных условиях x₀, y₀, T.

   Введем в рассмотрение следующую вспомогательную величину. Пусть С_Е^Т(у) – множество достижимости игрока Е. Обозначим через С_Е^Т(у) выпуклую оболочку множества С_Е^Т(у).

  Положим    γ(у,Т) = min  max  ρ(η′,η″).                        (2.3)

                                            η′ С_Е^Т(у)  η″ С_Е^Т(у)   

  Пусть    γ(у,Т) достигается в точках (, ), так что

                              min     max  ρ(η′,η″) =ρ(, ).              (2.4)

                                          η′С_Е^Т(у)  η″С_Е^Т(у)   

  Из  определения  следует, что это – центр минимальной сферы, содержащей множество С_Е^Т(у). Отсюда получаем, что точка единственна. В то же время существует по крайней мере две точки касания этого множества с минимальной содержащей его сферой, которые совпадают с точками .

  Пусть у(t) – некоторая траектория у(0)=у₀ игрока Е при 0≤t≤T. Когда игрок Е перемещается вдоль у(t), величина γ(y(t), T- t) изменяется. Пусть (t) – траектория точки из (2.4), соответствующая траектории y(t).

   В дальнейшем будем анализировать  лишь случай, когда для всех траекторий y(t)  (t) С_Р^Т(х). Назовем точку М центром преследования, если вней достигается 

    γ(М, l) = max    γ(y′,l).

                       y′ С_Е^{Т – l} (у)

   Таким образом,       γ(М, l) = max        .

                                                y′ С_Е^{Т – l} (у)  η′ С_Е^l(у)  η″ С_Е^l(у) 

   Рассмотрим вспомогательную одновременную игру преследования на выпуклой оболочке множества С_Е^Т(у). Игрок Р выбирает некоторую точку η′С_Е^Т(у) , а игрок Е - точку η″С_Е^Т(у). Выбор совершается одновременно, и игрок Р при выборе  η′ не знает выбора  η″ игрока Е, и наоборот. Игрок Е имеет выигрыш ρ(η′,η″). Обозначим значение этой игры через V(y, T), чтобы подчеркнуть зависимость значения игры от параметров y,T, определяющих множества стратегий С_Е^Т(у) и С_Е^Т(у) игроков Р и Е. Игру в нормальной форме записываем следующим образом:

   Г(у,Т) = ‹ С_Е^Т(у), С_Е^Т(у) , ρ(у′,у″)›.

   Множество стратегий  С_Е^Т(у) минимизирующего игрока Р выпукло, как выпукла оболочка множества С_Е^Т(у). Функция ρ(у′,у″) также выпукла по своим аргументам и непрерывна.

   Траектория у_k^*(t) называется условно-оптимальной, если у^*(0)=у₀, у^*(Т –l)=М, y^*(T)=y_k(M) для некоторого k из k=1, …, n+1. Для каждого k может существовать несколько условно-оптимальных траекторий игрока Е. 
 

2. Существование ситуаций равновесия в играх преследования

 

  Пусть в плоскости задан выпуклый многогранник S. Обозначим через S₀; S₁,...,S_m – стороны S(без вершин) и S_m+1,...,S_n – вершины S. В начальный момент времени «случай» выбирает местоположение x₀S игрока Р и местоположение y₀S игрока Е в соответствии с равномерным распределением в S. Тогда если в результате случайного хода x₀(y₀) принадлежит S_k , k=0, …, n, то игрок Р(Е) знает лишь, что он находится в S_k , но не знает, в какой именно точке этого множества. Далее игроки Р и Е перемещаются в S в соответствии с простым движением =αu, |u|=1,

           =βv, |v|=1.

из начальных  состояний х_0S,y_0S.

  Пусть в момент 0≤t≤T точка х(t)_Sk и точка y(t)_Sh. Тогда в этот момент времени игроки Р и Е знают лишь, что они находятся в S_k и S_h соответственно, однако не знают, в какой именно точке этих множеств. Игра продолжается некоторое фиксированное время Т. На траекториях x(t), y(t) при t[0,T] задан некоторый непрерывный функционал F(x₀,y₀; x(t), y(t)) и выигрыш игрока Е равен F(выигрыш игрока Р равен - F).

  Информационные  множества.

  Согласно  условиям игры игроки различают лишь множества S_k , k=0, …,n. Однако, находясь внутри S_k, они не различают позиций в этом множестве. Кроме того, игроки знают и множество S. Поэтому, находясь, например, на стороне S_k, игрок Р(Е) знает, какая это сторона, а следовательно, и то, с какой стороны от S_k находится многогранник S (выпуклый многогранник). Если игрок Р(Е) находится в вершине S_k, k=m+1, …, 2m, то он знает расположение многогранника S и инцидентные стороны _, , примыкающие к вершине S_k. Если х_S0, то игрок Р(Е) знает только то, что находится в S₀. Поэтому мы определяем информационные множестваS⁽ⁱ⁾ игрока Р(Е) следующим образом:

  S⁽⁰⁾=S₀,

  S^(k)=S_kS0, k=1,… , m,

  S^(k)=S_kSo, k=m+1, …, 2m  (Рисунок 7)

    Здесь _{, - инцидентные к} S_k стороны многогранника S.

   Определим допустимые управления в  каждом из S^(k), k=0, …,n. При х_S0 игрок Р(Е) может выбрать произвольное направление движения (оба игрока обладают простым движением)(Рисунок 8). При х_S^(k), k=1,… , m, следует иметь в виду, что находясь на стороне S_k, игрок Р должен выбирать направления внутрь S, а так как для всех х_S^(k) множества допустимых управлений должны совпадать (иначе игрок Р мог бы различать разные позиции в S^(k)), то для всех х_S^(k) полагаем множество допустимых управлений, совпадающих с множеством допустимых управлений при х_Sk (Рисунок 9).