Геометрия Лобачевского и ее модели

медиан треугольника в одной точке и др. теоремы которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и  четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

 

Теорема   1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

□ Пусть ABC— произвольный треугольник. По первой теореме 
Саккери — Лежандра (Сумма углов треугольника не больше 2d) _АВС 2d. Если предположить, что _АВС = 2d, то окажется справедливым V постулат, что противоречит аксиоме V*. Следовательно, 
_АВС < 2d. Чтд.

Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

 

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4 d..

□ Пусть ABCD —данный выпуклый четырехугольник. Проведем 
диагональ АС и разложим этот четырехугольник на два треугольника 
ABC и ADC. Тогда А+В+С+D= _АВС + _ADC. Но _АВС < 2d и 
_ADC < 2d, поэтому А + В + С + D <4d. Чтд.

 

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

□ Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' имеем A = A’ 
B = B', C = С’. Докажем сначала, что АВ = A’В’. Предположим, что АВ А'В'; для определенности допустим, что 
АВ> А'В'. На лучах АВ и АС возьмем точки В" и С" так, чтобы 
АВ" = А'В' и АС" = А'С’ (рис. 10). По первому признаку равенства треугольников имеем /\АВ"С" = /\А'В'С, поэтому 1 = 2. 
По условию 2 = 3, следовательно, 1 = 3. Аналогично устанавливаем, что 4 = 6.

По предположению АВ > А^’В’ поэтому А — В" — В, т. е. прямая В"С" пересекает сторону АВ треугольника ABC. В силу равенства

 

     1 = 3 прямые В" С" и ВС не пересекаются, следовательно, по аксиоме Паша прямая В"С" пересекает сторону АС треугольника ABC, и значит, А — С" — С. Отсюда следует, что четырехугольник BB^”C”C выпуклый.

Из равенств 1 = 3 и 4 = 6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 4d. Таким образом приходим в противоречие с теоремой 2. Значит, АВ = А’B’. По второму признаку равенства треугольников АВС = A'В'С'. ■

Рис 11,12

2. Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С= D и каждый из углов С и D острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD <BC,  то  С< D.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ

  С < D, то AD <ВС.

 

VIII. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.

1. Докажем следующую лемму.

Лемма  1. Если АВ || CD, то существует ось симметрии прямых

АВ и CD.

□ Пусть Р и Q— точки, лежащие соответственно на прямых АВ

       рис.13                                                        рис.14

 

    и CD, a h и k — биссектрисы углов QPB и PQD (рис. 13). Так как АВ || CD, то луч h пересекает луч QD в некоторой точке Е. Тогда луч k пересекает отрезок РЕ в некоторой точке S.

Докажем, что точка S равноудалена от прямых АВ и CD. Обозначим через SH₁, SH₂ и SH₃ — перпендикуляры, проведенные из точки S к прямым АВ, CD и PQ (рис. 13). Так как SH₁ = SH₃ и SH₂ = SH₃, то SH₁ = SH₂. Теперь ясно, что прямая d, содержащая биссектрису угла H₁SH₂, является осью симметрии прямых АВ и CD. Чтд.

Пользуясь этой леммой, легко доказать, что отношение параллельности направленных прямых удовлетворяет условию симметричности, т. е. справедлива теорема.

 

Теорема  1. Если АВ|| CD, то CD || АВ.

□ Пусть Р — произвольная точка прямой АВ, a d — ось симметричных прямых АВ и CD (см. лемму 1). Тогда точка Q, симметричная точке Р относительно прямой d, лежит на прямой CD (рис. 14). Для доказательства теоремы воспользуемся признаком параллельности прямых . Прямые АВ и CD не пересекаются, поэтому достаточно доказать, что любой внутренний луч угла PQD пересекает луч РВ.

Пусть h — произвольный внутренний луч угла PQD, a h’ — луч, симметричный лучу h относительно прямой d. Так как угол PQD симметричен углу QPB и h — внутренний луч угла PQD, то h' — внутренний луч угла QPB. Но АВ || CD, поэтому луч h’ пересекает луч QD. Отсюда следует, что и луч h пересекает луч РВ. Чтд.

 

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если АВ || EF, EF || CD и прямые АВ и CD не совпадают, то АВ || CD.

 

2. Условимся называть  две (ненаправленные) прямые а и b параллельными, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.

Две прямые на плоскости  Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны. Легко видеть, что через каждую точку М, не лежащую

     Рис. 15                                                                       рис.16

 

на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая из которых расходится с прямой а. В самом деле, пусть прямые CD и EF параллельны прямой а в разных направлениях (см. рис. 7). Тогда любая прямая, проходящая через точку М внутри вертикальных углов CMF и EMD, расходится с прямой а.

Таким образом, на плоскости  Лобачевского в отличие от плоскости Евклида имеются три случая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.

Теорема 3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

□ Пусть АВ и CD — данные прямые, a PQ — их общий перпендикуляр (рис. 15). По лемме 1 (Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пересекаются) прямые АВ и CD не пересекаются. Они не могут быть параллельными, так как если допустить, что они параллельны, то прямые углы APQ и BPQ должны быть углами параллельности в точке Р относительно прямой CD. Но угол параллельности всегда острый, поэтому наше допущение неверно; значит, АВ и CD — расходящиеся прямые. ■

Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.

3. В заключение докажем,  что на плоскости Лобачевского  расстояние от переменной точки одной из двух параллельных или расходящихся прямых до другой прямой есть переменная величина. Для этого предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 2. Пусть лучи PP^’ и QQ' лежат в одной полуплоскости с границей PQ, PQQ' прямой, a QPP' прямой или тупой

 

Q                   H                       Q’               Q              H1            H2            Q’           Q          H1           H2         H3         Q’

                       А)                                                       Б)                                                              В)

Рис. 17

 

 

 

(рис. 17, а). Тогда если М — переменная точка луча РР', а Н — проекция этой точки на прямую QQ', то функция МН — f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.

□ Докажем сначала, что f — монотонно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' две точки М₁ и М₂ так, чтобы РМ₁ < РМ₂, и докажем, что М₁Н₁ < М₂H₂, где Н₁ и Н₂— проекции точек M₁ и М₂ на прямую QQ'. Рассмотрим три двупрямоугольника с основаниями QH₁ QH₂, H₁H₂ изображенные на рисунке 17, б. Так как РМ₁ < РМ₂, то Р — М₁ — М₂. Применив теорему 2 (сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d) к двупрямоугольникам с основаниями QH₁ и QH₂ и учитывая, что Р прямой или тупой, приходим к выводу, что углы 1 и 3 острые. Так как  1 и 2 — смежные углы, то 2 тупой. Тогда по свойству 3° в двупрямоугольнике с основанием Н₁Н₂ имеем Н₁М₁ < H₂M₂. Таким образом, f — монотонно возрастающая функция.

Докажем теперь, что f — неограниченно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' точки М₁, М₂, ..., М_п, следующие друг за другом так, чтобы РМ₁ = М₁ М₂ = ... = М_n-1 М_п, где n > 2, и рассмотрим проекции H₁ H₂, ..., Н_п этих точек на прямую QQ' (рис. 17, в).

 По доказанному PQ < М₁ H₁ < М₂Н₂. Отложим на луче H₁ М₁ отрезки Н₁М₁ и Н₁ М'₂, равные соответственно отрезкам PQ и М₂Н₂. Тогда, очевидно, М’₁— М₁ — М'₂.

В треугольниках РМ₁ М’₁ и М₂М₁ М'₂ имеем РМ₁ = М₂М₁ и РМ₁ М’₁ = M₂M₁M’₂, но PM'₁M₁ первого треугольника тупой (как угол, смежный с углом М’₁ четырехугольника Саккери с основанием QH₁), a M₂M’₂M₁ второго треугольника острый (как угол четырехугольника Саккери с основанием Н₁Н₂). Отсюда следует, что М₁ М’₁ < М'₂М₁.

 Если обозначить М₁М’₁ через , то М₁ Н₁ = PQ + , М₂Н₂ = М₁Н₁ +M'₂M₁ > PQ + 2 . Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что М₃Hз > PQ + 3 , ..., М_пН_п> PQ + п . Отсюда следует, что f — неограниченно возрастающая функция. ■

Пусть АВ и CD — расходящиеся прямые, a PQ — общий перпендикуляр этих прямых (рис. 18). Фигуры BPQD и APQC удовлетворяют условиям леммы 2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р как в одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямые неограниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра.

Пусть теперь АВ || CD, a PQ — перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD (рис. 19). Так как QPB острый, то смежный с ним QPA тупой. Фигура APQC удовлетворяет

 

Рис.18

   

 

                                           

                                                                                       Рис.19    

 

условиям леммы 2, поэтому  согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлению параллельности. Можно доказать, что если точка М удаляется от точки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря, параллельные прямые, неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении, асимптотически приближаются в другом.

IX. Три модели геометрии Лобачевского.

Выделяют три  различные модели геометрии Лобачевского:

1) Модель Пуанкаре

2) Модель Клейна

3) Отображение геометрии  Лобачевского на псевдосфере  (интерпретация Бельтрами)                                  

1) Модель Пуанкаре.

В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 20). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

2) Модель Клейна.

      За плоскость  принимается какой-либо круг (рис. 21.1), за точки - точки принадлежащие этому кругу, за прямые - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

 

                                                                                   Рисунок 21

Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых  (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих прямой АВ (рис.21.2). Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Это общее утверждение доказывается проверкой справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского. Поэтому, если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие имеется и в геометрии Евклида.