Интегрирование по частям. Примеры решений

Интегрирование  по частям. Примеры решений

Итак, научимся интегрировать  по частям. Для эффективного изучения темы необходимо хорошо ориентироваться  в материалах двух вышеуказанных  уроков. Под рукой должны быть: Таблица  интегралов и Таблица производных. Материал будет изложен последовательно, просто и доступно, и в интегрировании по частям у вас в дальнейшем не будет  особых трудностей.

Какую задачу решает метод  интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые  функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев  – и частное.

По частям берутся интегралы  следующих видов:

1) , ,  – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.

2), – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде  – показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике под интегралом чаще встречается буква «е».

3) , ,  – тригонометрические функции, умноженные на многочлен.

4) ,  – обратные тригонометрические функции, умноженные на многочлен.

Также по частям берутся  некоторые дроби, соответствующие  примеры мы тоже подробно рассмотрим.

Интегралы от логарифмов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

 

Решение:

 

Прерываем решение на промежуточные  объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

 

Формула применяется  слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере  
(и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за, а что-то за.

В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначаетсялогарифм.

 

Технически оформление решения  реализуется следующим образом, в столбик записываем:

 

 

То есть, замы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим  дифференциал :

 

 

 

Теперь находим функцию. Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства:

 

 

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть  формулы:. Вот образец чистового решения с небольшими пометками:

 

Интегрируем по частям:

 

 

 

(*)=

 

Как видите, применение формулы  интегрирования по частям, свело наше решение к двум простым интегралам.

 

Обратите внимание, что  в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».

 

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

 

Подынтегральная функция  представляет собой  произведение логарифма  на многочлен.

Решение:

 

Еще один раз подробно распишем порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном решении, нужно вернуться обратно к первым двум примерам.

Как уже говорилось, за необходимо обозначить  логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За обозначаемоставшуюся часть подынтегрального выражения.

Записываем в столбик:

 

 

Сначала находим дифференциал :

 

 

Теперь находим функцию  , для этого интегрируем правую часть нижнего равенства:

 

 

Для интегрирования мы применили  простейшую табличную формулу 

Теперь всё готово для  применения формулы . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью :

 

Под интегралом у нас снова  многочлен на логарифм! Поэтому решение  опять прерывается и правило  интегрирования по частям применяется  второй раз. Не забываем, что зав похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.

 

 

 

 

 

(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус,  также обратите внимание, что  минус  относится ко всей скобке , и эти скобки нужно корректно раскрыть.

(2) Раскрываем скобки. Последний  интеграл упрощаем.

(3) Берем последний интеграл.

(4) «Причесываем» ответ.

Необходимость дважды (а  то и трижды) применять правило  интегрирования по частям возникает  не так уж и редко.

А сейчас пара примеров для  самостоятельного решения:

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

,

Это примеры для самостоятельного решения.

Вроде бы в примере подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен.

Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен

Общее правило: за всегда обозначается многочлен

Пример 4

Найти неопределенный интеграл.

 

Решение:

 

Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:

 

 

 

 

 

Если возникли трудности  с интегралом , то следует вернуться к теме «Метод замены переменной в неопределенном интеграле».

Преобразуем ответ:

 

 

Пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Не преобразованный ответ ошибкой не будет.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

 

Это пример для самостоятельного решения. Данный интеграл дважды интегрируется  по частям. Особое внимание следует обратить на знаки – здесь легко в них запутаться, также помним, что – сложная функция.

 

Это основные сведения про экспоненту.Не забывайте, что экспонента и натуральный логарифм взаимно-обратные функции.

 

Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен

 

Общее правило: за всегда обозначается многочлен

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

 

Интегрируем по частям:

 

 

 

 

 

 

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

 

Это пример для самостоятельного решения

 

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

 

 

Еще один пример с дробью. Как и в двух предыдущих примерах за обозначается многочлен.

 

Интегрируем по частям:

 

 

 

 

 

 

 

Если возникли трудности  или недопонимание с нахождением  интеграла , то рекомендуетсяпросмотретьзанятие Интегралы от тригонометрических функций.

 

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

 

Это пример для самостоятельного решения.

 

Подсказка: перед использованием метода интегрирования по частям следует применить некоторую тригонометрическую формулу, которая превращает произведение двух тригонометрических функций в одну функцию. Формулу также можно использовать и в ходе применения метода интегрирования по частям, кому как удобнее.

 

Интегралы от обратных тригонометрических функций.

Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен

 

Общее правило: за всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.

 

Напомним, что к обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

 

Решение.

= (*)

Интегрируем по частям:

 

 

 

 

 

 

Интеграл  найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены переменной.

Таким образом, помимо «чистого»  интегрирования по частям нередко требуется  применять и другие методы, приёмы решения.

 

Пример 11

Найти неопределенный интеграл.

 

Это пример для самостоятельного решения

 

И заключительный пример. Он сложнее, и предназначен для желающих лучше разобраться в методе интегрирования по частям.

 

Пример 12

Найти неопределенный интеграл.

 

Что касаемо интегрирования по частям, почти всё разобрали. Рассмотренный  метод часто применяется в  комбинации с другими приёмами решения  интегралов. Читатели с хорошими навыками могут ознакомиться с такими примерами  на уроке Сложные интегралы.