Контрольная работа по дисциплин "Вычислительная математика"

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОННИКИ (ТУСУР) 

ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

(ДИСТАНЦИОННАЯ  ФОРМА ОБУЧЕНИЯ) 

Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ) 
 
 
 
 
 
 

Вычислительная  математика. 

Контрольная работа №1 
 

Вариант 88. 
 
 
 
 
 
 

          Выполнил___.___ 

                                                                          Дата выполнения работы_______  

                                                                      Дата   проверки________________

                                                                                                                      Оценка________________

                                                                              

Ф.И.О  преподавателя _Мицель А.А.___ 

                                                                                 Подпись   преподавателя________________ 
 
 
 
 
 
 

2003г

1.Связь  абсолютной и относительной  погрешности числа  с количеством  верных цифр этого  числа.

Пусть A- точное значение,  
           A* - приближенное значение некоторой величины.  
Абсолютной погрешностью приближенного значения A*называется величина

Относительной погрешностью значения A*(при ) называется величина   .

Так как, значение A как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

               .

Величины  и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Для оценки погрешностей арифметических операций следует использовать следующие утверждения:

Абсолютная погрешность  алгебраической суммы (суммы или  разности ) не превосходит суммы  абсолютной погрешности слагаемых, т.е.

Если  а и b - ненулевые  числа одного знака, то справедливы неравенства 

где ,          

Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки:  
если

  ,то   ,   

2. Отделение корней. Условие существования корня на отрезке [a,b]

Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0, т.е. найдется хотя бы одно число , такое что f( )=0. Корень заведомо единственный, если f’(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [a,b].

Условие существования корня на отрезке [а,b].

     Пусть дано уравнение (x)=0, где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a<=x< =b. Всякое значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что f( )=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x). Число называется корнем  к-ой кратности, если вместе с функцией f(x) обращается нуль ее производная до (k-1) порядка включительно.  f( ) = f ^/( ) = … f ^(k-1)( ) = 0. 

3.Метод  Ньютона. Достаточное  условие сходимости  метода Ньютона.  Дайте геометрическую интерпретацию метода Ньютона..

    Пусть корень   уравнения f(x)=0 отделён на отрезке [a,b].   Предположим мы нашли n-1-ое приближение корня x _n-1.Тогда n-ое приближение x_n мы можем получить следующим образом.

Положим         x_n=x_n-1+h_n-1                                                   (1) 

Раскладывая в  ряд f(x_n)=0 в точке x_n-1 , получим

f(x_n) = f(x_n-1+h_n-1) = f(x_n-1)+f’(x_n-1)(x_n-x_n-1)=0     

Отсюда следует

  h_n-1 =                                 (2)

Подставим (2) в  формулу (1), получим             
 

 
 
 
 

 
 
 

Геометрическая  интерпретация метода Ньютона 

    Геометрически метод Ньютона эквивалентен  замене дуги кривой у=f(x) касательной, проведенной в некоторой  точке кривой. В точке В имеем f(x₀)f”(x₀)>0. Здесь x₀=b. Проведем касательную в точке B получим  на пересечении касательной осью ОХ точку х₁. Далее проводим касательную в точке B₁, получим  точку х₂ и т.д.

    Если  положить х₀=а, то в точке х₀ будем иметь f(x)f’’(x₀)<0, тогда касательная в точке А пересекла бы ось в точке х’₁. лежащей вне отрезка [a, b], то есть при таком выборе начальной точки, метод Ньютона оказывается расходящимся. Достаточные условия сходимости метода Ньютона определяются следующей теоремой.

    Если  f(a)f(b)<0,  причем f(x) и f’’(x) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то исходя из начального приближения удовлетворяющего неравенству 

    Можно вычислить методом Ньютона  единственный корень уравнения f(x)=0  с любой степенью точности. 

4.Метод  хорд. Дайте геометрическую  интерпретацию метода  хорд.

Пусть на отрезке [a, b] есть один корень нужно найти его с погрешностью e, f(a)*f(b)<0.

Принцип метода дихотомии:

• Шаг 1: Определить середину отрезка [a, b]: с=0.5*(a+b). Вычислить значение функции в этой точке -  f(с).
• Шаг 2: Проверить условие: а) Если |f(с)| < ε Þ с – корень.

б) Если f(с)*f(а)<0 Þ x Î [a, с]

в) Если f(с)*f(b)<0 Þ x Î [с, b]

                                          где x - корень.

• Шаг 3: Если (b_n-a_n)/2<ε Þ корень найден: x=0.5(b_n+a_n), иначе на шаг 1.

Геометрическая  интерпретация метода дихотомии:

    

         

 

 
 
 

5.Вычислите  количество итераций(шагов)  N поиска корня с заданной точностью ∑на отрезке [a,b] в методе перебора.

    Решение:

Пусть x – истинное значение корня; e - точность расчета. Методом перебора определяем значения корня в интервале [a,b] шагом (b-a)/N, где N – количество делений интервала (шагов итерации). Таким образом необходимо найти такие значения i (i = 0..N) и N, которые удовлетворяют следующему неравенству. 

 
 
 

 
 

6.Найти  число верных знаков  частного U  = 230 / 23 если все цифры делимого и делителя верны

          Решение:

    Решение:

    Так как  , то (m=0, следовательно n = 3), то есть результат деления имеет три верных знака в широком смысле (или два в узком смысле) 

7.Вычислите  абсолютную погрешность  в широком смысле  произведения двух чисел a1=3 a2=35

    Решение:

    ∆1 = 0,5  ∆2 = 0,5

    

    U = 3*35 = 105,0

      

8.Произвести  действие над приближенными  числами, в которых  все знаки вернутся  в узком смысле

17,83 + 1,07 + 1,1 * 10²=

153,21 – 81,329=

61,32 – 61,31=

35,2 * 1,748=

65,3 * 78,5=

7,6 / 2,314=

170 / 5=

40,5³=

Ö54,71=

а) 17,83+1,07+1,1*10²=13*10±6*10^-2 
 D₁=1/2* 10^1-4+1=0.5*10^-2 
 D₂=1/2* 10^0-3+1=0.5*10^-2 
 D₃=1/2* 10^0-2+1=0.5*10^-1 
 D_S=6*10^-2=D₁₊D₂₊D₃ 
 S=128.90 
 
б) 153,21-81,329=71.881±5,5*10^-3 
 D₁=1/2* 10^2-5+1=0.5*10^-2 
 D₂=1/2* 10^1-5+1=0.5*10^-3 
 D_P=5.5*10^-3=D₁₊D₂ 
 P=71.881 
 
в) 61,32-61,31=0.01000±10^-2 
 D₁=1/2* 10^1-4+1=0.5*10^-2 
 D₂=0.5*10^-2 
 D_P=10^-2=D₁₊D₂ 
 P=0.01 
 
г) 7,6/2,314= 3.3 ± 0.023 
 D₁=1/2* 10^1-4+1=0.5*10^-2 
 D₂=1/2* 10^0-3+1=0.5*10^-2 
 D₁/7.6 ± D₂/2.314 » 0.0068 » 0.007 
 D=3.284 ; D_D=3.284*0.007»0.023 
 
д) Ö54,71=54.71^0.5= 7.4 ±33.67*10^-5 
 d=0.5*d^*(54.71) 
 D^*=0.5*10^1-4+1=0.5*10^-2 
 d^*=0.5*10^-2/54.71 =9.1*10^-5 
 d =9.1*10^-5*0.5 = 4.55*10^-5 
 D=4.55*10^-5*7.4 =33.67*10^-5