Контрольная работа по "Математике"

№1. Сформулируйте определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. Сформулируйте теорему Фробениуса-Перрона.

Определение: Максимальное по модулю собственное значение λ_А неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор _А- вектором Фробениуса для А.

Теорема: 1) λ_А – действительное неотрицательное число. Существует неотрицательный собственный вектор _А, соответствующий данному собственному значению. 2) Если А>0, то λ_А>0 и существует положительный собственный вектор.

 

№2. Докажите следующее утверждение: если >0 - собственный вектор неотрицательной матрицы, то он является ее вектором Фробениуса.

Обозначим через α  собственное  значение, которому принадлежит вектор , следовательно, выполнено равенство А =α . Умножая его с лева на и учитывая А= λ_А , имеем А = λ_{А ,} так что α = λ_А . Поскольку по условию >0, то не равно нулю, так что α=λ_А, что и заканчивает доказательство.

 

№3. Докажите следующее утверждение. Пусть s и S –минимальная и максимальная суммы элементов столбцов матрицы А. Тогда число Фробениуса λ_А матрицы А удовлетворяет неравенству s< λ_А,S.

Дано: s и S – min и max суммы элементов столбцов матрицы A. λ_A – число Фробениуса. Доказать: s≤λ_A≤S.

Пусть _A – вектор Фробениуса, сумма координат которого равна 1, то есть l^T _A=1.   A A=λA A;

Учитывая, что  = ^TA, получим A=λ_А( ^T A), поэтому λ_А= A= s₁x₁+s₂x₂+…+s_nx_n и отсюда следует, что s(x₁+…+x_n) _A S(x₁+…x_n). Учитывая, что сумма координат вектора _A равна 1, из неравенства получаем s .

 

№4. Запишите структурную  таблицу и уравнение межотраслевого баланса Леонтьева для трехотраслевой модели экономики; укажите экономический  смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.

Произв. потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
X11 X12 … X1n	Y1	X1
X21 X22 … X2n	Y2	X2
…	…	…
X1n Xn2 ... Xnn	Yn	Xn

 – уравнение межотраслевого баланса (уравнение Леонтьева). Вектора валового выпуска -  , матрица прямых затрат – A, вектор конечного продукта - . а_ij= , где - объем продукции i отрасли, расходуемой в производстве j отраслью, - валовый выпуск j отрасли.

 

№.5 Сформулируйте  и докажите первый критерий продуктивности, т.е. теорему о том, что матрица  А≥0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E-A)^-1 существует и неотрицательна.

Пусть существует (E-A)^-1 ≥0, тогда x=(E-A)^{-1 *}y, где оба множителя > 0, следовательно, x≥0, а значит, матрица продуктивна. Пусть А продуктивна. (E-A)x=e₁, значит с₁≥0, (E-A)x=e₂, значит с₂≥0, следовательно, (с₁,с₂,c_n)=C≥0. (E-A)C=E≥C=(E-A)^-1≥0

 

 

 

№6. Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то её число Фробениуса меньше 1.

Пусть неотрицательная  матрица A продуктивна. Тогда для  любого неотрицательного вектора  существует решение уравнения . Пусть , тогда, очевидно, . Умножив равенство слева на левый вектор Фробениуса и учитывая, что , получим , или . Так как и , , то , . Поэтому из последнего равенства вытекает, что .

 

№ 7. Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.

Пусть А>0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число α>0, что все матрицы λА, где 1<λ<1+α, продуктивны, а матрица (1+α)*А не продуктивна.

Выведение формулы: 1) А; 2) E-λA; 3) |E-λA|=0; 4) α=λ-1.

 

№ 8.  Запишите структурную  таблицу межотраслевого баланса  Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический  смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления через известные элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.

Матрица Леонтьева:

A= |a11  a12|

      |a21  a22|

|E-A|= |1-a11    a12 |

           |a21     1-a22|

|E-A|^-1= 1/((1-a11)(1-a22)-(a21*a22)) * |1-a22   -a21 |

                                                                |-a12    1-a11|

_                  _

X=|E-A|^-1 * Y  _       _    _

Модель равновесных цен:   P=A^Tp + v, где вектор v=(v¹, v², … ,vⁿ)^T – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что вектор х заменен на вектор р, вектор y – на вектор v, матрица А заменена на транспонированную - A^T.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

 

 

№9. Приведите примеры задач линейного программирования на минимум( задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов): текстовую формулировку и математическую постановку задачи.

Задача о  диете. Пусть имеется 2 вида продуктов П₁ и П₂, содержащих питательные вещества А, В, С. В 1кг продуктов П₁ и П₂ содержится определенное количество питательных веществ того или иного вида.

Известно: a, b, c – ежесуточное потребление А, В и С соответственно.

s₁,s₂ – стоимости 1 кг продуктов П₁ и П₂ соответственно.

Требуется рассчитать количество x₁ продукта П₁ и количество x₂ продукта П₂ так, чтобы обеспечить необходимое количество питательных веществ при min затратах на продукты.

Общая стоимость продуктов будет f = s₁x₁ + s₂x₂

Математическая задача о диете  состоит в отыскании значений неизвестных x₁, x₂, удовлетворяющих условиям:

 и f = s₁x₁ + s₂x₂ ® min

Задача об использовании ресурсов. Пусть ресурсы трех видов R₁, R₂, R₃ имеются в количествах соответственно b₁,b₂,b₃ в у.е.

Т₁,Т₂ – выпускаемые предприятием товары.

a_ij- число единиц ресурса R_i (i = 1, 2, 3), необходимое для производства единицы товара T_i (j = 1, 2).

с₁,с₂ – доход с единицы каждого вида товаров соответственно.

х₁, х₂ – количество товаров Т₁ и Т₂ соответственно.

Доход предприятия f = c₁x₁ + c₂x₂.

Математическая задача об использовании ресурсов состоит в отыскании значений неизвестных x₁, x₂, удовлетворяющих условиям:

   и  f = c₁x₁ + c₂x₂ ® max

 

№ 10. Приведите  общую постановку ЗЛП. Дайте определения  следующим терминам: целевая функция, допустимое множество задачи, оптимальное решение, оптимальное множество.

Если целевая функция  и система ограничений линейны, т. е. каждая из них имеет вид a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_nx_n +b, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

На практике часто встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а несколькими  различными способами. Когда решений  много, ищется наилучшее. Математически  это сводится к задаче: найти max (min)  f(x) при условии, что переменная x пробегает некоторое заранее известное множество X. f(x) ® max(min), x ϵ Х.

Такая задача называется задачей оптимизации. Множество X называется допустимым множеством данной задачи, а функция f(x) – целевой функцией. Следует находить не только само значение max (min)  f, но и точку или точки, если их несколько, в которых это значение достигается. Такие точки называются оптимальными решениями. Множество всех оптимальных решений называют оптимальным множеством и обозначают X*.

 

 

№. 11. Что такое стандартная форма задачи линейного программирования? Что такое каноническая форма задачи линейного программирования? Приведите пример задачи, форма которой не является ни канонической, ни стандартной. Приведите эту задачу к канонической и стандартной формам.

Каноническая форма  ЗЛП, помимо нетривиальных  ограничений, включает в себя только уравнения (пример транспортная ЗЛП)

Стандартная форма ЗЛП  состоит только из неравенств, включая  тривиальные ограничения.

Пример 1. Привести данную ЗЛП к каноническому виду.

   2х₁ + х₃>=40                                 2х₁ + х₃ – x₄=40

   3х₂ + х₃ = 30     f=20х₁ + 5х₂ + 30х₃ -> min          3х₂ + х₃ = 30    

   Х_i >=0                                                                     Х_i >=0

 Пример 2. Привести заданную ЗЛП к стандартному виду.

    2х₁ + х₃>=40                                      2х₁ + х₃ >=40

    3х₂ + х₃ - x₄ = 30  f=20х₁ + 5х₂ + 30х₃ -> min  3х₂ + х₃ - 30>= 0    

    Х_i >=0                                                                          Х_i >=0                                                                        

 

№ 12. Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x₁, x₂)=x₁+x₂, в одной из которых существует единственная точка максимума, а в другой – бесконечное множество точек минимума. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

1)  f(x₁, x₂)=x₁+x₂ -> max  2) f(x₁, x₂)=x₁+x₂  -> min

     x₁+x₂≤6 (1)  x₁+x₂≥3 (1)

     2x₁+x₂≤8 (2)   x₁+x₂≤6 (2)

     x₁≥0   x₂≥0   2x₁+x₂≤8(3)

  x₁≥0   x₂≥0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка максимума единственная – с координатами (2;4). Координаты мы получили, приравняв (1) и (2).

 

 

№ 13. Опираясь на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного программирования с одной и той же целевой функцией f(x₁, x₂)=x₁+x₂, в одной из которых существует единственная точка минимума, а в другой – бесконечное множество точек максимума. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

1)     f(x1, x2)=x1+x2  ->   min        x1+x2≤6 (1)        2x1+x2≤8 (2)        x1≥0   x2≥0 Точка минимума единственная и совпадает с началом координат, т.е. имеет координаты (0;0)

2) f(x1, x2)=x1+x2   ->   max      x1+x2≤6 (1)      x1≥0   x2≥0   Линия уровня совпадает  с единственной прямой (1), поэтому  существует множество точек максимума.

14. Опираясь  на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного  программирования с одной и той же целевой функцией f(x₁, x₂)=x₁+x₂, в одной из которых существует единственная точка минимума, а в другой целевая функция не ограничена сверху. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

1)    f(x1, x2)=x1+x2  -->    min       x1+x2≤6 (1)       2x1+x2≤8 (2)       x1≥0   x2≥0                                    ●       Точка минимума единственная и совпадает  с началом координат, т.е. имеет  координаты (0;0).

2)   f(x1, x2)=x1+x2   -->    max       x1+x2≥6 (1)      2x1-x2≤24 (2)       x1≥0   x2≥0                                       Функция не ограничена сверху, поэтому fmax=∞.

15. Опираясь  на алгоритм графического метода, постройте две задачи линейного  программирования с одной и  той же целевой функцией f(x₁,x₂) = x₁ + x_2, в одной из которых существует единственная точка максимума, а в другой целевая функция не ограничена снизу. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

А)  f(x₁,x₂) = x₁ + x₂  à max

        x₁ + 2x₂ ≤ 16

       2x₁ + x₂  ≤ 14

       3x₁ + 3x₂  ≥ 6

       x₁, x₂  ≥ 0

Б) f(x₁,x₂) = x₁ + x₂ à max

      x₂ ≤   2

      x₁ + x₂ ≤ 15

      x₁ ≥ 0

 

16. Опираясь на алгоритм  графического метода, постройте  две задачи линейного программирования  с одной и той же целевой  функцией f(x₁,x₂) = x₁ + x_2, в одной из которых существует бесконечное множество точек минимума, а в другой целевая функция не ограничена сверху. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.