Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Марта 2013 в 12:35, контрольная работа
Верхняя цена игры равна -1.
Так как верхняя цена игры не равна нижней цене игры, следовательно, оптимальное решение в чистых стратегиях не найдено. Необходимо искать решение в смешанных стратегиях.
Цена игры v: -5 v -1.
Необходимо ко всем элементам матрицы прибавить число, равное по модулю наименьшему элементу матрицы, т.е. 6 . Тогда, цена исходной игры v = v1 -6, где v1 - цена игры получившейся матрицы.
Составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая 1 тому участнику, с чьим приходом эта коалиция становится выигрывающей. Всего существует 4!=24 порядка формирования коалиций.
|
вход |
Накопленные голоса (%) |
Выигрыш | |||||||||||
Перв. |
Втор. |
Трет. |
Четв. |
первый |
двое |
трое |
все |
1 |
2 |
3 |
4 | ||
1 |
2 |
3 |
4 |
34,4 |
62,9 |
87,6 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
1 |
2 |
4 |
3 |
34,4 |
62,9 |
75,3 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
1 |
3 |
2 |
4 |
34,4 |
59,1 |
87,6 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
1 |
3 |
4 |
2 |
34,4 |
59,1 |
71,5 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
1 |
4 |
2 |
3 |
34,4 |
46,8 |
75,3 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
1 |
4 |
3 |
2 |
34,4 |
46,8 |
71,5 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
2 |
1 |
3 |
4 |
28,5 |
62,9 |
87,6 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
2 |
1 |
4 |
3 |
28,5 |
62,9 |
75,3 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
2 |
3 |
1 |
4 |
28,5 |
53,2 |
87,6 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
2 |
3 |
4 |
1 |
28,5 |
53,2 |
65,6 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
2 |
4 |
1 |
3 |
28,5 |
40,9 |
75,3 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
2 |
4 |
3 |
1 |
28,5 |
40,9 |
65,6 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
3 |
1 |
2 |
4 |
24,7 |
59,1 |
87,6 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
3 |
1 |
4 |
2 |
24,7 |
59,1 |
71,5 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
3 |
2 |
1 |
4 |
24,7 |
53,2 |
87,6 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
3 |
2 |
4 |
1 |
24,7 |
53,2 |
65,6 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
3 |
4 |
1 |
2 |
24,7 |
37,1 |
71,5 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
3 |
4 |
2 |
1 |
24,7 |
37,1 |
65,6 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
4 |
1 |
2 |
3 |
12,4 |
46,8 |
75,3 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
4 |
1 |
3 |
2 |
12,4 |
46,8 |
71,5 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
4 |
2 |
1 |
3 |
12,4 |
40,9 |
75,3 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
4 |
2 |
3 |
1 |
12,4 |
40,9 |
65,6 |
100 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||
4 |
3 |
1 |
2 |
12,4 |
37,1 |
71,5 |
100 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
4 |
3 |
2 |
1 |
12,4 |
37,1 |
65,6 |
100 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||
Итого |
8 |
8 |
8 |
0 | |||||||||
Поделим полученные выигрыши на 24 и получим вектор весов партий
Задача 5.
В каждом столбце матрицы
A найдем максимальный элемент. Эти
элементы выделены в матрице A. Их положение
соответствует приемлемым ситуациям 1-го
игрока, когда второй игрок выбрал стратегию j соответственно.
Затем в каждой строке матрицы B выберем
наибольший элемент. Эти элементы выделены
в матрице B. Их положение будет определять
приемлемые ситуации 2-го игрока, когда
первый игрок выбрал стратегию i соответственно.
Платежная матрица игрока А:
-4 |
3 |
5 |
9 |
Платежная матрица игрока B:
9 |
13 |
7 |
6 |
Таким образом, найдены две равновесные
ситуации (2;1), . Эти ситуации оказались
приемлемыми для обоих игроков.
В равновесной ситуации (2,1) игрок 1 выигрывает
5 единиц, а игрок 2 - 7 единицы.
Чтобы в биматричной игре А=(a), В = (b) пара
(p,q) определяемая равновесную ситуацию,
необходимо и достаточно одновременное
выполнение следующих неравенств:
(p–1)(Cq-α) ≥ 0, p(Cq-α) ≥ 0; 0 ≥ p ≥ 1
(q-1)(Dp-β) ≥ 0, q(Dp-β) ≥ 0; 0 ≥ q ≥ 1
где
C = a11 - a12 - a21 + a22
α = a22- a12
D = b11-b12-b21+b22
β = b22-b21
C = -4 - 3 - 5 + 9 = -3
α = 9 - 3 = 6
D = 9 - 13 - 7 + 6 = -5
β = 6 - 7 = -1
(p–1)(-3q-6) ≥ 0
p(-3q-6) ≥ 0
(q-1)(-5p+1) ≥ 0
q(-5p+1) ≥ 0
Поскольку 0 <= q <= 1, то принимаем q=0.
получаем, что:
1) p=1,q ≥ 0
p=0, q <= 0
0 <= p <= 1, q=0
2) q=1,p ≥ 1/5
q=0, p <= 1/5
0 <= q <= 1, p=1/5
Цена игры
Ha(1/5;0) = 74/5
Hb(1/5;0) = 72/5
Ответ:
P* = (1/5;4/5); Q* = (0;1).
Выигрыш игроков в равновесной ситуации:
f(P*,Q*) = (74/5;72/5).