Контрольная работа по "Математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Марта 2013 в 12:35, контрольная работа

Краткое описание

Верхняя цена игры равна -1.
Так как верхняя цена игры не равна нижней цене игры, следовательно, оптимальное решение в чистых стратегиях не найдено. Необходимо искать решение в смешанных стратегиях.
Цена игры v: -5 v -1.
Необходимо ко всем элементам матрицы прибавить число, равное по модулю наименьшему элементу матрицы, т.е. 6 . Тогда, цена исходной игры v = v1 -6, где v1 - цена игры получившейся матрицы.

Скачать целиком (139.82 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Содержимое работы - 1 файл

Теория игр.docx

— 146.02 Кб (Скачать файл)

Задача 1

Количество чистых стратегий  игрока А равно 2. Количество чистых стратегий игрока В равно 5.

   

Стратегии игрока B

Минимальный элемент в  строке

B1

B2

B3

B4

B5

Стратегии игрока A

A1

-5

-1

-3

-2

7

-5

A2

3

-2

1

0

-6

-6


Нижняя цена игры равна -5.

   

Стратегии игрока B

Минимальный элемент в  строке

B1

B2

B3

B4

B5

Стратегии игрока A

A1

-5

-1

-3

-2

7

-5

A2

3

-2

1

0

-6

-6

Максимальный элемент  в столбце

  

3

-1

1

0

7

  

Верхняя цена игры равна -1.

Так как верхняя цена игры не равна нижней цене игры, следовательно, оптимальное решение в чистых стратегиях не найдено. Необходимо искать решение в смешанных стратегиях.

Цена игры v: -5 v -1.

Необходимо ко всем элементам  матрицы прибавить число, равное по модулю наименьшему элементу матрицы, т.е. 6 . Тогда, цена исходной игры v = v1 -6, где v1 - цена игры получившейся матрицы.

   

Стратегии игрока B

B1

B2

B3

B4

B5

Стратегии игрока A

A1

1

5

3

4

13

A2

9

4

7

6

0


 

Смешанную стратегию первого  игрока обозначим как P=(p1, p2), где p1+p2=1 и p1, p2 0

Смешанную стратегию второго  игрока обозначим как Q=(q1, q2, q3, q4, q5), где q1+q2+q3+q4+q5=1 и q1, q2, q3, q4, q5 0

Если P*=(p*1, p*2) и Q*=(q*1, q*2, q*3, q*4, q*5) являются оптимальным решением, то должны выполняться две следующие  системы неравенств :

 

 

 

 

Разделим почленно первую систему на v1 (цену игры).

Введем новые обозначения: y1 = p*1 / v1 , y2 = p*2 / v1

Рассмотрим сумму: y1 + y2 = p*1 / v1 + p*2 / v1 = 1/v1 * ( p*1 + p*2 ) = 1/v1

Выражение 1/v1 будет стремиться к минимуму.

Требуется найти минимум  линейной функции F = y1 + y2 при следующей системе ограничений:

 

 

Разделим почленно вторую систему на v1 (цену игры).

Введем новые обозначения:

Введем новые обозначения: x1 = q*1 / v1 , x2 = q*2 / v1 , x3 = q*3 / v1 , x4 = q*4 / v1 , x5 = q*5 / v1

Рассмотрим сумму: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = q*1 / v1 + q*2 / v1 + q*3 / v1 + q*4 / v1 + q*5 / v1 = 1/v1 * ( q*1 + q*2 + q*3 + q*4 + q*5 ) = 1/v1

Выражение 1/v1 будет стремиться к максимуму

 

Требуется найти максимум линейной функции L = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 при следующей системе ограничений :

x1

+ 5 x2

+ 3 x3

+ 4 x4

+ 13 x5

1

9 x1

+ 4 x2

+ 7 x3

+ 6 x4

 

1


 

Полученные задачи являются парой симметричных взаимно двойственных задач.


Решив одну из них, мы автоматически получим решение второй.


К левой части неравенства 1 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x6 , тем самым мы преобразуем неравенство 1 в равенство.


К левой части неравенства 2 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x7 , тем самым мы преобразуем неравенство 2 в равенство.


x1

+ 5 x2

+ 3 x3

+ 4 x4

+ 13 x5

+ x6

 

=

1

9 x1

+ 4 x2

+ 7 x3

+ 6 x4

    

+ x7

=

1


  1. За ведущий выберем столбец 1 , так как -1 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем  строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим. Обратите внимание, что  отношение мы вычисляем только для  положительных элементов столбца 1.


 

базисные 
переменные

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

свободные 
члены

отношение

x6

1

5

3

4

13

1

0

1

1

x7

9

4

7

6

0

0

1

1

 

1

  
 

9


L

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

0

0

0

-

 

Разделим элементы строки 2 на 9.

базисные 
переменные

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

свободные 
члены

отношение

x6

1

5

3

4

13

1

0

1

1

x7

1

 

4

  
 

9
 

7

  
 

9
 

2

  
 

3

0

0

 

1

  
 

9
 

1

  
 

9
 

1

  
 

9


L

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

0

0

0

-


 

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2 .


От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 2 умноженные на -1.


 

базисные 
переменные

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

свободные 
члены

отношение

x6

0

 

41

  
 

9
 

20

  
 

9
 

10

  
 

3

13

1

-

1

  
 

9
 

8

  
 

9

-

x1

1

 

4

  
 

9
 

7

  
 

9
 

2

  
 

3

0

0

 

1

  
 

9
 

1

  
 

9

-

L

0

-

5

  
 

9

-

2

  
 

9

-

1

  
 

3

- 1

0

 

1

  
 

9
 

1

  
 

9

-


 
X 1 = ( 1/9 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8/9 , 0 )

Значение функции L для  данного решения: L (X 1) = 1/9


 

  1. За ведущий выберем столбец 5 , так как -1 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем  строку 1, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 1 строки является наименьшим. Обратите внимание, что  отношение мы вычисляем только для  положительных элементов столбца 5.


 

базисные 
переменные

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

свободные 
члены

отношение

x6

0

 

41

  
 

9
 

20

  
 

9
 

10

  
 

3

13

1

-

1

  
 

9
 

8

  
 

9
 

8

  
 

117


x1

1

 

4

  
 

9
 

7

  
 

9
 

2

  
 

3

0

0

 

1

  
 

9
 

1

  
 

9

-

L

0

-

5

  
 

9

-

2

  
 

9

-

1

  
 

3

- 1

0

 

1

  
 

9
 

1

  
 

9

-

Информация о работе Контрольная работа по "Математике"