Кривые второго порядка в полярной системе координат

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Ноября 2011 в 11:55, реферат

Краткое описание

Положение произвольной точки плоскости мы до сих пор определяли её декартовыми координатами x и y. Однако этот способ не является единственным: часто бывает удобнее определять положение точки М на плоскости другими величинами. Остановимся на том способе, когда положение точки М на плоскости (рис. 1) определяют расстоянием ρ=ОМ точки М от полюса О и углом φ между лучом ОМ и полярной осью ОР. Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М. Отрезок ρ называют полярным радиусом, а угол φ – полярным углом. Заметим, что всегда ρ≥0.

Содержимое работы - 1 файл

krivyievtorogoporyadka.doc

— 302.00 Кб (Скачать файл)
 

I. Кривые II порядка в полярной системе координат. 

1. Полярная система  координат. 

      Положение произвольной точки плоскости мы до сих пор определяли её декартовыми координатами x и y. Однако этот способ не является единственным: часто бывает удобнее определять положение точки М на плоскости другими величинами. Остановимся на том способе, когда положение точки М на плоскости (рис. 1) определяют расстоянием ρ=ОМ точки М от полюса О и углом φ между лучом ОМ и полярной осью ОР. Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М. Отрезок ρ называют полярным радиусом, а угол φ – полярным углом. Заметим, что всегда ρ≥0.

      Очевидно, что заданием ρ и φ положение  точки М определяются однозначно: угол φ определяет направление луча  ОМ, а отрезок ρ – положение точки на этом луче. Однако по точке М однозначно определяется лишь расстояние ρ, а угол φ определяется не однозначно: каждой точке М соответствует бесчисленное множество полярных углов, отличающихся друг от друга на 2πk, где k – целое число. Для устранения неоднозначности в качестве полярного угла обычно выбирают наименьший (по абсолютной величине) угол

φ, составляемый ОМ с полярной осью, т.е. выбирают φ  в диапазоне от –π до +π (-π<φ≤π).

      Исключение  – случай, когда точка М совпадает  с полюсом О и ρ=0, а полярный угол φ может быть взят каким угодно.

      Установим связь между полярными (ρ и  φ) и декартовыми (x и y) координатами точки М. Для этого совместим полюс с началом координат, а полярную ось – с осью абсцисс (рис. 2).

      Из  ∆OMN имеем

      x=ρ cosφ;                                           ρ=      

     y=ρ sinφ.                                            tg φ= .   

     Формулы (1) и (2) позволяют осуществить переход  от полярной системы координат к декартовой и наоборот.

     До  сих пор мы строили графики  функций в декартовой системе  координат. Соответствующие построения можно производить и в полярной системе: если переменные ρ и φ связаны функциональной зависимостью, то, изображая значение φ полярными углами и откладывая на определяемых ими лучах отрезки, равные соответствующим значениям ρ, получим геометрическое место точек с координатами ρ и φ, образующих линию, называемую полярной диаграммой или графиком заданной функции в полярной системе координат. Особенно удобно прибегнуть к полярной диаграмме, если переменная φ фактически является ( а не только изображается) углом. 

2.Спирали. 

    Спираль (франц. spirale, от лат. spira", греч. "σπετρα"- виток) – плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от нее.

    Среди спиралей выделяют алгебраические спирали  и псевдоспирали. Алгебраические спирали – спирали, уравнение которых в полярных координатах являются алгебраическими относительно переменных ρ и φ. К алгебраическим спиралям относятся: гиперболическая спираль, архимедова спираль, Галилея спираль, Ферма спираль, параболическая спираль, жезл.

    Псевдоспирали – спирали, натуральные уравнения  которых могут быть записаны в виде r = asm, где r – радиус кривизны, s – длина дуги. При m = 1 псевдоспираль является логарифмической спиралью, при m = -1 – Корню спиралью, при m = ½ - эвольвентной окружностью.

    Рассмотрим  некоторые из них. 

  1. Жезл.

    Жезл  – плоская трансцендентная кривая. Уравнение в полярных координатах: ρ = .

    Кривая  состоит из двух ветвей (соответствующих  положительным и отрицательным  значениям ρ), каждая из которых имеет асимптоту – ось ОР, асимптотическую точку – полюс О, точки перегиба (± ; ± ).  

      2) Гиперболическая спираль.

              Гиперболическая спираль определяется  полярным уравнением 

                                         ρ= .

      При φ→∞ ρ→0, т.е. полюс является асимптотической  точкой  гиперболической спирали. Из ∆OMN следует, что MN=ρ sin φ, но ρ= , и потому MN= . Можно доказать, что при φ→0 MN→а, т.е. прямая, параллельная полярной оси и отстающая от неё на расстоянии, равном а, является асимптотой гиперболической спирали, изображенной на рисунке.

 
 
 
 
 

       

         3) Логарифмическая спираль. 

      Так называется кривая, задаваемая в полярной системе координат уравнением                           

                                                   ρ=аφ. 

      Если  аргумент φ изменять по закону арифметической прогрессии: φ0, φ0+d, φ0+2d;…, то значения φ будут:

      аφ0;     аφ0+d = aφ0ad;    aφ0+2d = aφ0(ad)2;…,

т.е. функция  ρ будет возрастать в геометрической прогрессии со знаменателем q=аd, откуда и вытекает способ построения логарифмической спирали.

      Отложим на полярной оси ОА=а0, а на прямой перпендикулярной к ней, ОB=а2. Если теперь построить прямую ломаную ABCDE…, то из подобия треугольников видно, что отрезки OA, OB, OC, … образуют геометрическую прогрессию со знаменателем а , т.е. полученные точки A, B, C, D, E, … лежат на логарифмической спирали. Когда φ возрастает от 0 до ∞, точка кривой делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, неограниченно удаляясь от него (расстояния между витками уже  не одинаковы!). Угол φ может принимать и отрицательные значения. Когда φ→ −∞, ρ→0 и кривая совершает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь, но никогда его не достигая, т.е. полюс для логарифмической спирали является асимптотической точкой.

      Логарифмические спирали широко используются в технике: по логарифмической спирали выполняются профили вращающихся ножей и фриз, зубчатых передач и прочее. По логарифмической спирали очерчены некоторые раковины, по дугам, близким к данной спирали, расположены семечки в подсолнухе, чешуйки в шишках и т.д.

             

     4) Спираль Архимеда.

     Рассмотрим  полярную диаграмму, определяемую уравнением rj, где а - некоторая положительная постоянная (коэффициент пропорциональности). Для построения графика этой функции найдем несколько её точек, записывая расчеты в таблице.

j 0 p 2p
r 0 a a a ap а a2p

    Отрезок а обозначим ОА; тогда

     а =2OA, a =3OA, ap=6OA, а =9OA, 2ap=12OA.

     Откладывая  эти отрезки на соответствующих  лучах, получим точки A,B,C,D,E,F, принадлежащие графику функции rj. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим спираль Архимеда.

          Свойства этой спирали впервые  были изучены Архимедом. Одним  из этих свойств является постоянство  расстояний между витками. Аргумент j может расти безгранично, а поэтому кривая имеет бесконечное множество витков. Определим расстояние между двумя соседними витками MN по произвольному лучу.

     OM=aj;

     ON=a(j+2p);

     MN=ON-OM=a(j+2p)-aj=2ap.

Полученное  выражение от j не зависит, так как MN=2ap при любом j.

     Таким образом, в полярной системе координат  Архимедова спираль имеет весьма простое уравнение: rj, и построение её графика никаких затруднений не вызывает.

      Воспользуемся формулами перехода r= , φ= arctg( ) и получим вместо ρ=aφ гораздо более сложное уравнение

        = arctg( )

Из уравнения  видно, что построение графика этой функции в декартовой системе координат было бы крайне затруднительно. 

3. Лемниската Бернулли.

     Лемнискатой называется геометрическое место точек  М, произведение расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек F1 и F2 есть величина постоянная.

     Расположим  фиксированные точки (фокусы лемнискаты) F1 и F2 на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Обозначим расстояние между ними F1 F2=2а. Тогда эти точки будут иметь координаты F1 (-а,0), F2 (а,0). Для произвольной точки лемнискаты М(x,y), по её определению должно выполняться: MF1 ∙ MF2=a. Используя формулу расстояния между двумя точками d= , получим:

                      = a.

     После возведения правой и левой частей полученного уравнения в квадрат и упрощений получим: 

                            (x2+y2)2-2a2(x2-y2)=0.

     

       
 
 

       

     Исследовать кривую по этому уравнению в декартовой системе координат довольно сложно. Если же перейти к полярным координатам, то уравнение примет более простой вид:

     2) = 2а2 2 cos2φ - ρ2 sin2φ)  или ρ2 = 2а2 cos2φ.

     Итак, полярное уравнение кривой имеет  вид

                                ρ2 = b2 cos 2φ,

где 2а2=b2 . Так как максимальное значение cos 2φ равно единице, то максимальная величина ρ есть b.

    Если  cos 2φ отрицателен, то ρ – мнимая величина. Таким образом, между прямыми, образующими углы 45˚ и 135˚ с полярной осью, нет точек кривой.

     Если  вместо φ подставить (-φ), то уравнение  не измениться. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно полярной оси.

     Если  ρ=0, то cos 2φ=0 и φ=45˚ или 135˚, следовательно, кривая проходит через полюс при этих значениях угла.

     Можно также найти область существования этой функции, т.е. множество тех значений аргумента φ , при которых функция имеет вещественное значение: ρ2≥0, а потому должно быть и cos 2φ≥0, откуда     

     - , где к – целое число, или - .

     Проведя биссектрисы координатных углов, выделим  те секторы, в которых кривая существует. Дальнейшее построение кривой выполняется по точкам. Название этой кривой – лемниската происходит от греческого слова повязка, бант.

     Лемниската  Бернулли используется в качестве переходной линии на закруглениях малого радиуса ( например, на трамвайных путях). 

    4.  Розы.

    Розы  – плоские кривые, уравнения которых  в полярных координатах имеют вид

    ρ=αsinκφ,

где α  и κ – постоянные. Если κ=m/n –  число рациональное, то роза - алгебраическая кривая четного порядка. Порядок этой кривой равен m + n, если m и n – нечетные числа, и равен 2(m + n), если одно из чисел m и n – нечетное. Вся кривая расположена внутри круга радиуса α, состоит из конгруэнтных лепестков. Если κ – целое, то роза состоит из κ лепестков при κ нечетном и из 2κ лепестков при κ четном. Если κ = m/n и m, n – взаимно простые, то роза состоит из m лепестков, когда m и n нечетные, и из 2m лепестков, если одно из чисел m и n является четным.

Информация о работе Кривые второго порядка в полярной системе координат