При иррациональном κ лепестков бесконечно много, розы являются гипоциклоидами, если κ>1, и эпициклоидами, если κ<1. 
 
 
 

5. Улитка Паскаля.

Улиткой Паскаля  называется кривая, определяемая уравнением

                                          ρ=2r cosφ+c

      (в прямоугольных координатах: (x² +y²-ax)²=l²(x²+y²)).   

      Для построения графика этой кривой обратим внимание на то, что при c=0 ρ=2r cosφ, а из рисунка очевидно, что ОМ=2r cosφ, а потому графиком этой кривой является окружность радиуса r ( полюс О находится в левом конце диаметра этой окружности, а полярная ось направлена по диаметру).

Теперь  для построения точек, принадлежащих  улитке Паскаля, надо в каждом положении полярного радиус-вектора ρ=2r cosφ достроить к нему отрезок c. На рис. 2  выполнены эти построения для трех случаев: c<2r, c=2r, c>2r.

     В случае c=2r улитка Паскаля называется кардиоидой и имеет уравнение вида

     ρ=2r cosφ + 2r = 2r (1+ cosφ).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     III.   Кривые II порядка в декартовых координатах. 

       Продолжая перечень примеров, рассмотрим ещё несколько кривых механического происхождения, полученные путем качения одних кривых по другим. 

Эпи- и гипоциклоида.

      Если  один круг без скольжения катится  извне по другому кругу, то  кривая , описываемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется эпициклоидой. В случае же качения изнутри, мы имеем дело с гипоциклоидой. Остановимся на выводе уравнений первой из этих кривых.

      Возьмем начало координат в центре О неподвижного круга, а ось x проведем через то положение А интересующей нас точки, в котором она является точкой касания обоих кругов. Когда подвижный круг перейдет в новое положение, указанное на чертеже, точка А перейдет в М. Геометрическое место точек М нам и надлежит определить.

      Обозначим через а радиус неподвижного круга, а через mа – радиус катящегося круга. Выберем за параметр здесь угол t=<MCB между радиусом СМ, соединяющим центр катящегося круга с интересующей нас точкой на его окружности, и радиусом СВ, проведенным в точку касания. В начале движения пусть этот угол равен 0.

      Прежде  всего, посмотрим, в чем здесь  проявляется отсутствие скольжения. Дуга ABпройденная точкой касания по неподвижной окружности, должна равняться дуге МВ, пройденной точкой касания по катящейся окружности:

      a <AOB = ma MCB = mat, откуда <AOB=mt.

      Выразим теперь координаты x и y точки М через t. Имеем

               x=OG=OE+FM=(a+ma) cos mt+ma sin<FCM;

но

                <FCM=<BCM-<OCE   и   <OCE= - mt,

так что

             <FCM=(1+m)t -     и sin <FCM=-cos(1+m)t.

Окончательно

                   x = a[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t]

Подобным же образом найдем

                   y =   a[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t].          

      Эти уравнения дают параметрическое  представление эпициклоиды.

      Когда катящейся круг снова придет в  соприкосновение с неподвижным кругом в той же своей точке, что и в начале  движения (т.е. при t=2π), точка М закончит одну ветвь кривой. При дальнейшем качении она будет описывать следующую ветвь, подобную первой, и т.д.

      В случае же гипоциклоиды подобным же образом  получаются такие параметрические уравнения:

      x = a[(1-m) cos mt + m cos (1- m)t]

      y = a[- (1- m) sin mt + m sin (1- m)t]

      

      Здесь m также означает отношение радиуса катящегося круга к радиусу неподвижного. Легко заметить, что эти уравнения получаются их уравнений эпициклоиды заменой m на –m.

      На  рисунке изображены эпициклоиды, соответствующие  m=1, 2,  ,  и гипоциклоиды, соответствующие m= и . В последней можно узнать астроиду. 
 

Астройда

Астроида —  плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем

m = 4. 

Уравнения

Уравнение в  декартовых прямоугольных координатах:

параметрическое уравнение:

   

Свойства

Длина дуги от точки  с 0 до

Длина всей кривой 6R.

Радиус кривизны:

Площадь, ограниченная кривой:

Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены  на двух взаимно перпендикулярных прямых.

Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка. 

IV. Использование компьютера для наглядного представления кривых II порядка. 
 

    Программа для построения графиков является наукой, но простой в использовании. Она  позволяет создавать анимированные 3D графики уравнений в табличных данных. В одной системе координат может быть неограниченное количество графиков, каждый из которых может отображаться при помощи точек, линий и поверхностей. Аналитические функции задаются в параметрическом виде и могут содержать до трех независимых переменных, включая переменную времени для анимации.

    Систему координат с графиком можно вращать, перемещать и масштабировать в реальном времени. Программа позволяет отслеживать и вводить координаты курсора на плоскости или в трехмерной системе координат. Использование графической библиотеки OpenGL позволяет создавать высококачественные изображения графиков и дает возможность задействовать современные аппаратные ускорители, необходимые для достижения гладкой анимации в реальном времени. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Рассмотренные выше кривые второго порядка в  компьютерной программе 3D Grapher имеют следующее изображение: 

1. Жезл.

 
 

ρ = . Кривая состоит из двух ветвей (соответствующих положительным и отрицательным значениям ρ),  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Гиперболическая  спираль.

 
 
 
 

ρ= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Логарифмическая спираль.

 

ρ=а^φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Спираль Архимеда.

r=аj, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.   Улитки Паскаля.

                                    

ρ=2r cosφ+c 

На рис. 2  выполнены эти построения для трех случаев: c<2r, c=2r, c>2r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Четырёхлепестковая роза.     
7. Трёхлепестковая роза.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             ρ=αsinκφ  

7. Эпициклоида.                                                8.Гипоциклоида.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

x = a[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t]          x = a[(1-m) cos mt + m cos (1- m)t] 

y =   a[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t           y = a[- (1- m) sin mt + m sin (1- m)t] 

9. Лемниската Бернулли.

     ρ² = b² cos 2φ,

           где 2а²=b² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Астройда 

 

Параметрические уравнения: