Математическая статистика в технологии машиностроения

Вычисление теоретических частот по формуле (2) выполним в среде Microsoft Excel, используя данные табл. 3 предыдущего задания. Результаты расчета теоретических частот приведены в табл. 4. На рис. 2 отображены полученные теоретическая и эмпирическая (по данным табл. 3) кривые распределения. Визуальный анализ результатов совмещения двух кривых распределения случайной величины (отклонения от номинального времени работы сверла) позволяет заключить, что эмпирическое распределение может рассматриваться как распределение по экспоненциальному закону.

 

                                                        Таблица 4                                            

        Результаты вычисления теоретических  частот экспоненциального распределения.                                                                                                                    

Интервалы х		Середина разряда	Частота fi
от	до
0	0,4	0,2	0	0
0,4	8,92	4,66	23	25
8,92	17,44	13,18	11	12
17,44	25,96	21,7	13	14
25,96	34,48	30,22	2	2
34,48	43	38,74	5	5
51,52	60,04	55,78	2	2
60,04	68,56	64,3	2	2
68,56	77,1	72,83	2	2
77,1	85,62	81,36	0	0

 

 

 

 

Теоретическая (1) и эмпирическая (2) кривые нормального  распределения

 

Рис. 2.

 

Проверка гипотезы о экспоненциальном распределении

 

Для проверки гипотезы о экспоненциальном распределении генеральной совокупности по взятой из нее выборке можно использовать как критерий λ А.Н. Колмогорова, так и критерий χ² Пирсона. Выполним проверку по обоим критериям.

 

Проверка гипотезы экспоненциальности распределения по критерию l.

 

Для вычисления величины λ  необходимо предварительно определить значения эмпирической F_п (х) и теоретической F(х) интегральной функции предполагаемого закона распределения для каждого наблюденного значения случайной величины х. Затем по максимальной разности значений этих функций определить λ при помощи следующей формулы:

.                                  (3)

Так как  и , где и - накопленные теоретические и эмпирические частоты, а n - объем выборки, то вместо формулы (3) можно пользоваться формулой:

                                         (4)

Накопленной частотой любого m-го значения x_i называется сумма частот всех предшествующих значений x_i, включая и частоту самого x_i, т. е.

                                                  (5)

где m — число значений х_i; f_i - частота i-го значения х.

Используя данные табл. 4 для теоретических и эмпирических частот, получим результаты вычисления , и , приведенные в табл. 5.

 

Таблица 5

Данные для вычисления критерия l

xi	fi
0,2	0	0	0	0	0
4,66	23	25	23	25	2
13,18	11	12	34	37	3
21,7	13	14	47	51	4
30,22	2	2	49	53	4
38,74	5	5	54	58	4
55,78	2	2	56	60	4
64,3	2	2	58	62	4
72,83	2	2	60	64	4
Σ	60	64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальная разность функций и составляет . По формуле (4) получим

.

 

По табл. 1 приложения 2 по значению l находим вероятность того, что выдвинутая гипотеза о законе распределения отклонения диаметра роликов от номинального размера является достоверной. Так как значению l = 0,52 соответствует , нашу нулевую гипотезу считаем верной.

 

Проверка гипотезы нормальности распределения по критерию χ².

 

Используя результаты вычисления теоретических и эмпирических частот и , приведенных в табл. 4, вычислим критерий χ² по формуле

.

Результаты вычисления критерия χ² приведены в табл. 18. Заметим, что поскольку частоты с 3 по 8-ой интервал менее 5, то они объединены с соседними интервалами. По табл. 6 имеем . Число степеней k = т - р- 1 = 5 - 2 - 1 = 2, где m = 5 - число интервалов, p = 2 - число параметров закона распределения. По табл. 2 приложения 2 находим . Эта вероятность больше доверительной вероятности q = 0,05, следовательно, и по критерию χ² нашу нулевую гипотезу можно считать верной.

 

Таблица 6

Таблица для вычисления

.

x
от	до
0,4	8,92	23		25		2	4	0,16
8,92	17,44	11		12		1	1	0,08
17,44	25,96	13	15	14	16	1	1	0,06
25,96	34,48	2		2
34,48	43	5	7	5	7	0	0	0
51,52	60,04	2		2
60,04	68,56	2	4	2	4	0	0	0
68,56	77,1	2		2

 

Задание 3.

Исследование  взаимосвязей параметров и факторов

процессов механической обработки деталей

 

Выдвинута рабочая гипотеза о наличии при точении стали 40Х нелинейной связи между температурой резания θ и скоростью обработки v. Для установления достоверности этой гипотезы осуществлен эксперимент, результаты которого приведены в табл. 7.

Выполнить корреляционный и регрессионный  анализы опытных данных и сформулировать основные выводы о наличии связи  между температурой резания θ  и скоростью обработки v стали 40Х, ее силе и виде уравнения регрессии, отражающего эту связь.

 

                                                                                 Таблица 7

 

Скорость резания v, м/мин	Температура резания θ, °С
	опыт 1	опыт 2	опыт 3	опыт 4	опыт 5
10	250	280	310	350	210
40	480	520	440	470	420
100	700	650	740	620	660
200	805	850	720	780	830
300	860	950	900	800	840
400	900	860	950	970	890
600	940	980	900	920	1000

 

 

Результаты выполнения задания

 

Решение вопроса  о наличии или отсутствии связи  между температурой резания и скоростью обработки выполним с помощью электронной таблицы Excel.

Занесем данные табл. 8 в ячейки A2:A31 и B2:B31 (рис. 3). В ячейках A1 и B1 укажем наименования соответствующих столбцов. Вычислим коэффициент корреляции, используя функцию Excel «Корреляция». Для этого в меню пакета Microsoft Excel выберем «Сервис», в котором обращаемся к команде «Анализ данных». В меню «Инструменты анализа» выделим «Корреляция» и в появившемся окне заполним требуемые данные для вычисления коэффициента корреляции и укажем адрес F2 ячейки вывода результатов расчета.

По значению коэффициента корреляции (в ячейке G4 массива F2:H4 результатов функции «Корреляция») можно заключить, что между температурой резания и скоростью обработки  существует достаточно тесная связь, которая может быть описана линейной зависимостью.

Для определения графическим  методом вида уравнения регрессии  θ на v построим с помощью «Мастера диаграмм» пакета Excel точечные графики экспериментальных данных, используя массив ячеек D1:E31 (рис. 3). Отобразим на них линии тренда: линейную (график а), полиномиальную второй степени (график б), степенную (график в) и экспоненциальную (график г).

Визуальный анализ характера разброса точек экспериментальных данных и расположения относительно них линий тренда позволяет заключить, что наиболее подходящим уравнением регрессии, отражающим взаимосвязь между температурой резания θ и скоростью обработки v, является полином второй степени (график б рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таб.8                                                                                                      

Рис.3

Задание 4.

Статистический  анализ точности

процесса механической обработки

С токарного полуавтомата, обрабатывающего валы диаметром  , взята выборка n = 50. Валы были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01 мм. Результаты измерений деталей выборки приведены в нижеприведенной таблице .

Определить точность процесса, его устойчивость, точность настройки  и возможный процент брака  при существующей настройке станка на размер.

 

Таблица 9.

Результаты измерений  диаметра роликов

Вариант №4
1	49,84	11	49,91	21	49,90	31	50,04	41	49,97
2	49,95	12	50,00	22	49,97	32	49,95	42	49,94
3	49,90	13	49,98	23	49,92	33	49,93	43	49,98
4	49,94	14	49,89	24	50,01	34	49,94	44	49,93
5	49,94	15	49,94	25	49,87	35	50,01	45	49,97
6	49,96	16	49,98	26	49,94	36	49,92	46	49,98
7	49,92	17	49,95	27	49,94	37	49,93	47	49,93
8	49,90	18	49,94	28	49,90	38	49,96	48	49,98
9	49,94	19	49,97	29	49,93	39	49,98	49	49,95
10	49,89	20	49,96	30	49,92	40	49,98	50	49,94