Математическая статистика в технологии машиностроения

 

 

 

 

Результаты выполнения задания

Статистический  анализ данных выборки.

При выполнении отдельных  этапов статистического анализа  будем использовать возможности  табличного процессора Excel, что позволит значительно уменьшить трудоемкость вычислительных работ.

1. Вычисление статистических характеристик выборки и s. Заполним массив ячеек A2:E11 и ячейку F2 рабочего листа Excel результатами измерений деталей выборки (см. табл. 9). В ячейки F4 и F6 введем формулы вычисления характеристик и s, используя статистические функции Excel СРЗНАЧ, КОРЕНЬ и ДИСП. Получим

;   .

2. Проверка гипотез о случайности выборки. Эта проверка позволяет установить наличие или отсутствие функциональных погрешностей обработки, обуславливающих смещение центра рассеивания (статистики ). При наблюдениях за размерами обрабатываемых деталей на настроенном станке, проверку гипотезы случайности выборки осуществляют методом последовательных разностей.

 

Таблица 9.

 

	A	B	C	D	E	F
1	Исходные данные xi					n
2	49,84	49,91	49,90	50,04	49,97	50
3	49,95	50,00	49,97	49,95	49,94
4	49,90	49,98	49,92	49,93	49,98	49.9442
5	49,94	49,89	50,01	49,94	49,93	s
6	49,94	49,94	49,87	50,01	49,97	0.038
7	49,96	49,98	49,94	49,92	49,98
8	49,92	49,95	49,94	49,93	49,93
9	49,90	49,94	49,90	49,96	49,98
10	49,94	49,97	49,93	49,98	49,95
11	49,89	49,96	49,92	49,98	49,94

Проверка гипотезы случайности  выборки методом последовательных разностей заключается в вычислении критерия t

                                                         (6)

и сравнения полученного  значения с критическим t_q его значением. Если , то гипотеза случайности выборки принимается, в противном случае отвергается.

В формуле (6) величина c² представляет несмещенную оценку σ² по данным выборки и определяется по выражению

,                                          (7)

в которой a_i - разность между соседними членами х_i+1 и х_i данных выборки, a_i = х_i+1 – х_i (i = 1, 2,…, n - 1).

Критическое значение t_q при n > 20 вычисляется по формуле

,

где величина t_q определяется из соотношения , в котором функция является функцией Лапласа , значения которой приведены в табл. 4 приложения 2.

Для определения значения критерия t вычислим, прежде всего, величину c². Для этого из каждого последующего значения размера детали, приведенного в табл. 8, начиная со второго, вычтем предыдущее значение размера и, таким образом, составим 49 разностей, каждую из которых возведем в квадрат.

 

В табл. 8 приведены результаты выполнения перечисленных операций в среде Excel (массив A14:E23). В ней же в ячейках G15 и G17 приведены результаты вычисления величины c² и критерия t по формулам (7) и (8).

Для вычисления критического значения t_q зададим уровень значимости q = 5%. По формуле находим , которому по табл. 4 приложения 2 соответствует t_q =1,65, следовательно,

.

Так как  (1.63>0,77), то гипотеза «случайности» выборки верна с вероятностью

Таблица 10

 

	A	B	C	D	E	F	G
13	Вычисление квадратов  разностей аi2=(xi+1-xi), i=1,2,…, n
14	0,11	0,09	0,07	-0,09	-0,03		c2
15	-0,05	-0,02	-0,05	-0,02	0,04		0.001451
16	0,04	-0,09	0,09	0,01	-0,05		τ = c2/s2
17	0	0,05	-0,14	0,07	0,04		1.005
18	0,02	0,04	0,07	-0,09	0,01
19	-0,04	-0,03	0	0,01	-0,05
20	-0,02	-0,01	-0,04	0,03	0,05
21	0,04	0,03	0,03	0,02	-0,03
22	-0,05	-0,01	-0,01	0	-0,01
23	0,02	-0,06	0,12	-0,01

 

Проверка гипотезы о нормальном распределении. Проверку гипотезы нормальности распределения генеральной совокупности по взятой из нее выборке выполним по критерию l.

Для определения значения критерия λ вычислим значения эмпирической и теоретической функций нормального закона распределения и их разности для каждого наблюденного значения случайной величины х по формулам

;   ,

 

 

в которых и - накопленные теоретические и эмпирические частоты.

Выполняя все вычисления в среде Excel, получим результаты вычисления , и , приведенные в табл. 11. Максимальная разность этих функций составляет . Следовательно, величина критерия l составит

.

По табл. 1 приложения 2 этому значению l соответствует . Эта вероятность больше 0,05. Поэтому нашу нулевую гипотезу считаем верной.

Поскольку гипотезы нормальности и  случайности выборки являются верными, то процесс обработки валов можно  считать устойчивым во времени, и  он может быть отнесен к IV типу точности.

Суммарная погрешность обработки для процесса IV типа точности равна сумме постоянных Δ_п и случайных Δ_с погрешностей

 

.

 

 

Для вычисления Δ_с определим оценку σ для среднего квадратического отклонения σ₀ генеральной совокупности:

σ = z₂s = 1,246·0,038 = 0,047,

где значение z₂ взято из табл. 3 приложения 2. Следовательно, случайная погрешность составит

 

Δ_с = 6σ = 6·0,047 =0,284.

 

Постоянные погрешности равны

,

где - среднее значение действительных отклонений размеров роликов от их номинала .

Так как 2δ = 0,3 , а  , т.е. 2δ>Δ , то процесс обеспечивает требуемую точность.

 

 

 

Таблица 11

Результаты вычисления теоретических частот

,

накопленных частот

, и их разности

 

Интервалы	Середина интервала xi	f
49.84-49.86	49.85	1	0.65	1	0.65	0.35
49.86-49.88	49.87	1	1.96	2	2.61	0.61
49.88-49.91	49.9	6	6.43	8	9.04	1.04
49.91-49.93	49.92	5	9.65	13	18.69	5.69
49.93-49.95	49.94	15	11.52	28	30.21	2.21
49.95-49.97	49.96	7	10.62	35	40.83	5.83
49.97-49.99	49.98	11	7.72	46	48.55	2.55
49.99-50.02	50.01	3	2.74	49	51.29	2.29
50.02-50.04	50.03	1	1.006	50	52.296	2.296
		50	52,296

 

 

В результате статистического анализа  установлено, что сумма случайных  погрешностей Δ_с близка к 2δ , и что бы исключить причины случайных погрешностей ,требуется проверить жесткость системы СПИД ,состояние станка, в частности, наличие зазоров в отдельных частях станка. Под влиянием колеблющейся силы резания и вибраций эти зазоры выбираются в процессе обработки неравномерно как по величине, так и направлению, вызывая колебания размеров у обрабатываемых деталей.

 

Cписок литературы, использованной при выполнении заданий

 

Основная

 

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов /Е. С. Вентцель. - М.: Издательский центр «Академия», 2005. - 576 с.
2. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Учебное пособие для вузов. Ростов н/Д: Феникс, 2005, -480 с.
3. Клячкин В. Н. Статистические методы в управлении качеством: компьютерные технологии: Учеб. пособие / В. Н. Ю. Клячкин. - М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2009. -304 с.
4. Маталин А.А. Технология механической обработки / А.А. Маталин. Л.: Машиностроение, 1977. 464 с.
5. Мельниченко А. С. Статистический анализ в металлургии и материаловедении: Учеб. М.: Изд. Дом МИСиС, 2009. -268 с.

 

Дополнительная

 

6. Канне М. М. Основы научных исследований в технологии машиностроения: учеб. пособие / М. М. Канне. Мн.: Выш. шк., 1987. 231 с.
7. Кацев П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента / П. Г. Кацев. М.: Машиностроение, 1974. 231 с.
8. Основы научных исследований: Учеб. для вузов / В. Г. Кучеров, О.И. Тужиков, О.О. Тужиков, и др.; Под ред. В. Г. Кучерова. ВолгГТУ. – Волгоград, 2004. – 304 с.
9. Основы технологии машиностроения: Учебник для вузов / В.М. Кован, В.С. Корсаков, А.Г. Косилова и др.; Под ред. В.С. Корсакова. М.: Машиностроение, 1977. – 416 с.
10. Перов Э.Н. Статистические законы распределения случайных величин в технологии машиностроения: Учеб. пособие / Э.Н. Перов, Ю.Н. Иванкин. Пермь. Пермский политехнический институт, 1982, 128 с.

11. Интернет http://ru.math.wikia.com

                     http://www.sernam.ru