Нахождение минимума унимодальной функции методами Дихотомии и Золотого сечения

Метод локализации  минимума способом золотого сечения  является в некотором смысле оптимальным, так как он дает максимальную скорость убывания интервала локализации минимума .   

Рис.4

Принцип работы метода золотого сечения  показан на рисунке 4. 
 
 
 
 

Программа решения задания  методом золотого сечения:

program zolsech;

uses crt;

var z,x0,x1,e,r,x2,x3,a,b: real;

i:integer;

function f(x:real):real;

begin

f:=-4*x-8*power(x,3)+6*power(x,4);

end;

Begin

i:=0;

clrscr;

r:=(3-sqrt(5))/2;

writeln('Начало и конец отрезка');

readln(x0);readln(x1);

writeln('Точность');

read(e);

writeln('f(x)= -4*x-8*x^3+6*x^4');

repeat

z:=0;

i:=i+1;

x2:=x0+(x1-x0)*r;

if (f(x0)<=f(x2)) and (f(x2)<f(x1))then begin

 x1:=x2;

 z:=1;

 end;

if(f(x2)<=f(x0)) and (f(x0)<=f(x1)) then begin

 z:=1;

 a:=x0;

 b:=x1;

 x0:=x2;

 x3:=x0+r*(x1-x0);

 if (f(x2)<=f(x3)) then begin

 z:=1;

 x0:=a;

 x1:=x3;

 end;

 if (f(x2)>=f(x3)) then begin

 z:=1;

 x0:=x2;

 x1:=b;

 end;

  end;

 if (z=0 )then begin

if (f(x1)<=f(x2))and (f(x2)<f(x0))then begin

 x0:=x2;

  end;

if (f(x2)<=f(x1))and (f(x1)<=f(x0))then begin

a:=x0;

b:=x1;

x0:=x2;

x3:=x0+r*(x1-x0);

if (f(x2)<=f(x3)) then begin

x0:=a;

x1:=x3;

end;

if (f(x2)>=f(x3)) then begin

x0:=x2;

x1:=b;

end;

end;

end;

write (i,'-ое деление ',' f(',x2:5:2,') = ',f(x2):7:5,'  на интервале [',x0:5:2,',',x1:5:2,']');

writeln;

until abs(x1-x0)<e;

 x2:=(x0+x1)/2;

 writeln('min=',f(x2):7:5,' в точке',x2:7:5);

 end. 
 

Результаты выполнения программы приведены в таблице 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Результаты  выполнения программы 2:

Табл.2 

Окончательный результат: минимальное значение функции   на отрезке [0,1.5] равно -6.2803378 и достигается в точке , т.е:

 . 
 

Проверка  результатов:

Используем необходимое  условие экстремума.

Найдем производную  функции:

 

.

В точке минимума производная должна равняться нулю.

Подставим найденную  нами точку минимума в производную 

.

 Точка минимума найдена с указанной в постановке задачи точностью. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  График функции на заданном интервале: