Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

           Анализ многочисленной литературы, в которой рассматривается проблема обучения доказательству, показывает, что в ее решении преобладает логический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается на исследовании логических аспектов доказательства: сущности доказательства, его видов, правил вывода, обучения логическим действиям, входящим в процесс доказательства. В ряде работ находит отражение обучение эвристикам, овладение которыми облегчает поиск доказательства. (Наиболее ярко это направление представлено известными работами д. Пойа.)

         В литературе существуют разные точки зрения на сущность понятия «обучение доказательству».

          Одна из них сформулирована А. А. Столяром: «Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств» .[21] Таким образом, А. А. Столяр основной акцент в обучении доказательству делает на обучение процессам поиска и построения доказательства, специально противопоставляя его обучению работать с готовыми доказательствами. Эта концепция явилась, по-видимому, протестом против традиционно сложившейся в прошлом методики, в основном ориентированной на разучивание теорем и их доказательств и мало внимания уделявшей обучению самостоятельному открытию теорем и способов их доказательств.

      Есть  и иная точка зрения на обучение доказательству, сформулированная З. И. Слепкань: «под обучением доказательствам мы понимаем обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем или учебником, и обучение самостоятельному поиску доказательств».[5] З. И. Слепкань выделяет в проблеме обучения доказательству ряд последовательно решаемых задач:

      1) изучение готовых доказательств,  умение воспроизводить их;

      2) самостоятельное построение доказательств  по аналогии с изученными;        

      3) поиск и изложение доказательств  указанным учителем способом;

      4) самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложений.

      Отметим также исследования, в которых  предпринята попытка выделения  уровней обучения доказательству. Так, К. Попером  и И. Лакатосом выделены такие уровни:

      1) понимание аргументации и ее повторение;

      2) самостоятельный разбор доказательства теоремы и его воспроизведение;

      3) самостоятельное доказательство  теоремы; 

          4) опровержение готовых доказательств.

            Существующие точки зрения на  обучение доказательству определяют соответствующие им направления в исследовании этой проблемы». Авторы одной из них ставят акцент на обучении школьников поиску способа доказательства и самостоятельному его осуществлению, авторы другой - на обучении умению разбираться в готовых доказательствах. Анализ литературы показывает, что эти точки зрения не противоречат друг другу, они лишь отражают две стороны проблемы обучения доказательству: логическую и эвристическую. Между тем реальный процесс доказательства опирается на единство логического и эвристического, в нем логика и эвристика (логические и эвристические приемы мышления, составляющие доказательство) взаимосвязаны и взаимообусловлены. Отсюда следует, что концепция обучения доказательству должна включать обучение как умению разбираться в готовых доказательствах, так и умению самостоятельно осуществлять их поиск и конструирование.

          Поэтому, подводя итог изложенному, под обучением доказательству будем понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опровержению предложенных доказательств.

      Имеется большое число работ, в которых  обсуждаются отдельные аспекты проблемы обучения доказательству. Прежде всего отметим работы психологов, результаты которых служат обоснованием принятой концепции обучения доказательству (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский и др.). Среди таких положений выделим следующие:

      - развитие «доказательного» мышления  проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам;

      - доказательство — специфическая  деятельность, овладение которой  требует специального, целенаправленного  формирования составляющих ее действий.

      Действия, адекватные доказательству, имеют логический и эвристический характер. Их выделению и разработке методики формирования посвящены работы многих исследователей. Отметим наиболее важные результаты исследований логических аспектов доказательства.

1. Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схем дедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, является необходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения, метода получения новых знаний (А. А. Столяр).[21]
2. Процесс доказательства — сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным 
   структурам. Этому должны соответствовать и постепенное усложнение структуры доказательства, постепенное повышение 
   его уровня строгости (А. А. Столяр).[21]
3. Деятельность по доказательству включает следующие действия:

      - подведение объекта под понятие; выбор системы признаков, необходимых и достаточных для подведения под понятие, соответствующей конкретным условиям теоремы или задачи на доказательство; развертывание условия — выведение системы следствий; выделение в условии «поисковых» областей (Г. А. Буткин, М. Б. Волович);[4]

      - вычленение из формулировки теорем  их объектов, условия, заключения; запись теоремы в краткой символической  форме, построение для данной  теоремы ей обратной и установление  ее справедливости; перевод формулировки  теоремы на язык необходимых и достаточных условий (Л. М. Фридман);

      - выполнение логического анализа  формулировки теоремы, разработка  логических схем доказательства  отношений необходимости, достаточности, необходимости и достаточности между двумя событиями (Н. В. Миничкина);

      - построение умозаключений таким  образом, чтобы заключение любого  из умозаключений использовалось  в качестве посылки в одном  или нескольких последующих (Р.  Хашимов);

      - выделение условия и заключения  утверждения, заданного в словесно-символической форме; пользование правилами отделения, импликации, дедукции, противоречия, контрапозиции; распознавание понятия (отношения) с помощью подведения под теорему-признак; отыскание следствий с помощью выведения следствий из определения или с помощью подведения под теорему-свойство; расчленение теоремы с заключением вида «В и В₂» на две подтеоремы с заключениями «В » и «В₂» (Э. И. Айвазян).

      При поиске доказательства математических утверждений необходимо:

      1) Вспомнить  и применить теорему  (или другое истинное утверждение),  которая непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.

      2) Сделать попытку расчленить данное  утверждение на ряд более простых  утверждений, последовательное доказательство которых может привести к доказательству.

      3) Вспомнить утверждение, аналогичное  данному. Воспользоваться способом его доказательства.

      4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величии, то одну из них или обе заменить равносильными им величинами и доказывать равенство последних.

      5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному .

        Исходным моментом в обучении  учащихся доказательству является формирование потребности в логических доказательствах. На это указывается во многих исследованиях, авторы которых предлагают и различные средства осуществления этой цели.

      Потребность служит источником активности, проявлением  которой являются мотивы. Следовательно, формирование потребностей учащихся в логических обоснованиях обусловливает развитие мотивов к соответствующей деятельности. Средства формирования потребностей выступают в качестве мотивации введения доказательств. Вообще говоря, изучение любой теоремы предполагает мотивацию ее введения.

      Доказательства  трудны для учащихся. Сознательное усвоение доказательств обусловлено  пониманием их целей и назначения, возбуждением и укреплением у  учащихся потребности в доказательстве. Выделим основные положения воспитания потребности в доказательстве:

      1. Возбуждение и последующее развитие  потребности в доказательстве должно опираться: с одной стороны - на постепенное осознание учащимися ограниченности, неточности и недостаточности знаний, основанных на изучении отдельных частных случаев, на данных опыта, наблюдения и измерения; с другой - на понимание общности, точности и объективности доказательства как тех его ценных качеств, благодаря которым оно становится средством более точного, более глубокого познания действительности, средством, помогающим  приобрести уверенность в общности и истинности знаний.

      2. Первоначально перед, учащимися  должны  быть поставлены две  цели доказательств: задача убеждения  в справедливости теоремы и  задача ее обоснования (объяснения). В старших классах эти цели становятся неразличимыми.

      Концепция обучения доказательству определяется не только содержанием понятия «доказательство», но и целями, которые выдвигаются  в связи с рассмотрением доказательств. Несомненно и то, что ее формирование должно учитывать возрастные особенности школьников. Очевидна зависимость обучения доказательству от содержания обучения математике, от принятой структуры курса, ступеней обучения. Формирование концепции обучения доказательству должно осуществляться с учетом методов обучения, средств и форм обучения математике. Таким образом, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими.      

         Вопрос о сущности математического доказательства изучался  в работах И.И. Баврина, B.Г. Болтянского, Ф.Н. Гоноболнна, И.С. Градштейна. В.А. Далингера, Я.С. Ду6нова, И.В. Игошина, С.к. Клини, Ю.м. Колягина, Л. И. Креера, И. Лакатоса, В.Л. Матросова, А.И. Мостовой, В.А. Оганесяна, М.И.Орленко, Ф.Ф. Притуло, А Л Савина, А.А. Столяра, А.И. Фетисова, Г. Фройденталя и др.

      В этих работах доказательство рассматривается 

      - как мыслительный процесс обоснования какого-либо суждения (Ф.Ф. Притуло), [17]

           - как логическая форма мышления (А.И. Мостовой)

           - как цепь логических суждений (М.И. Орленко),

           - как конечная последовательность предложений математической теории (А.А. Столяр),[21]

           - как система умозаключений, при помощи которой устанавливается истинность какого-нибудь предложения ( А. И. Фетисов)

               Доказательства представляют собой цепочки умозаключений (правильных), ведущих от истинных посылок (исходных для данного доказательства суждений) к доказываемым (заключительным) тезисам. Истинность посылок не должна обосновываться в самом доказательстве, а должна каким-либо образом устанавливаться заранее. В этом заключается логический смысл доказательства. Доказательство выступает не только борением разных логик, но и борением эвристик, что обусловливает широкий поиск различных способов доказательства, их оценку. Посредством доказательства устанавливается истинность данного суждения.    

            Доказательство включает в себя три основных элемента:

                 1) Тезис, установить истинность которого - главная цель доказательства. Форма выражения тезиса - суждение.