Основные элементарные функции, их свойства и графики

Переходим к степенной  функции  , кгода .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций  при  , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной  функции с показателем a, .

• Область определения: . 
  при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
• Функция проходит через точку (1;1).

К началу страницы

Степенная функция  с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций  при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной  функции с нецелым отрицательным  показателем, меньшим минус единицы.

• Область определения: . 
  при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
• Функция проходит через точку (1;1).

К началу страницы

При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0⁰ условились не придавать никакого значения).

К началу страницы

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная  функция.

График показательной  функции  , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной  функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики  показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

 

Свойства показательной  функции с основанием меньшим  единицы.

• Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
• Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
• Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницы

Переходим к случаю, когда  основание показательной функции  больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций  – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной  функции с основанием большим  единицы.

• Область определения показательной функции: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
• Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницы

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая  функция  , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической  функции принимает различный  вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда  .

Для примера приведем графики  логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической  функции с основанием меньшим  единицы.

• Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальных асимптот нет.
• Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда  основание логарифмической функции  больше единицы ( ).

Покажем графики логарифмических  функций  – синяя линия, – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

 

 

 

Свойства логарифмической  функции с основанием большим  единицы.

• Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
• Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при .
• Функция выпуклая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальных асимптот нет.
• Функция проходит через точку (1;0).

Тригонометрические  функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики  и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми  тригонометрическими функциями  по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции  синус, его называют "синусоида".

Свойства функции  синус y = sinx.

• Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .
• Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .
• Функция синус - нечетная, так как .
• Функция убывает при , 
   
  возрастает при .
• Функция синус имеет локальные максимумы в точках , 
  локальные минимумы в точках .
• Функция y = sinx вогнутая при , 
  выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции  косинус y = cosx.

• Область определения функции косинус: .
• Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
• Функция косинус - четная, так как .
• Функция убывает при , 
  возрастает при .
• Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках , 
  локальные минимумы в точках .
• Функция вогнутая при , 
  выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет  вид:

Свойства функции  тангенс y = tgx.

• Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел. 
  Поведение функции y = tgx на границе области определения  
  Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.
• Наименьший положительный период функции тангенс .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Область значений функции y = tgx: .
• Функция тангенс - нечетная, так как .
• Функция возрастает при .
• Функция вогнутая при , 
   
  выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции  котангенс (его называют "котангенсоида"):

 

Свойства функции  котангенс y = ctgx.

• Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел. 
  Поведение на границе области определения  
  Следовательно, прямые , где являются вертикальными асимптотами.
• Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Область значений функции котангенс: .
• Функция нечетная, так как .
• Функция y = ctgx убывает при .
• Функция котангенс вогнутая при , 
  выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции  арксинус:

Свойства функции  арксинус y = arcsin(x).

• Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .
• Область значений функции y = arcsin(x): .
• Функция арксинус - нечетная, так как .
• Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .
• Функция вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
• Асимптот нет.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции  арккосинус y = arccos(x).

• Область определения функции арккосинус: .
• Область значений функции y = arccos(x): .
• Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
• Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .
• Функция вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба .
• Асимптот нет.