Показательная функция

Министерство  образования науки

Коми Государственный  Педагогический институт

Физико-математический факультет

Кафедра математического  анализа

Дисциплина математика

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

Показательная функция.

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 3 курса  ОЗО,

специальность информатика                ___________________ И. Гостинчикова

 

Проверил: Научный руководитель

К.ф-м.и профессор                                ___________________ В.И. Алексюк

 

г. Сыктывкар 2011

Содержание:

1. Введение………………………………………………………………….3
2. Основная часть

- понятие показательной функции………………………………………4

- свойства показательной  функции……………………………………...9

- примеры…………………………………………………………………9

3. Заключение………………………………………………………………14

4. Список литературы……………………………………………………...15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В данной курсовой работе будет рассмотрена показательная функция.

Первая часть данной работы будет рассматриваться понятие показательной функции и ее графики.

Во второй части рассматривается  свойства показательной функции.

В третей части - решение примеров и задач показательной функции.

Изучение темы «Показательная функция», является важнейшим этапов в изучении всех видов функций. 

1. Понятие показательной функции.

Определение 1.1. Показательной функцией называется функция вида , где основание а— положительная константа.

 

   

 

 

 

 

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые  величины изменяются так, что их отношение  данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди  таковых можно назвать радиоактивный  распад веществ, рост суммы на счету  в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

 Пусть  – последовательность рациональных чисел, сходящихся к x . Определим число как предел

  Показательной функцией  с основанием  a  называется функция, принимающая значения  ,

Данный предел не зависит  от выбора последовательности  , приводящей к числу x . Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a   > 1    и монотонно убывает при  a   < 1    Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту    y   = 0.

Особое значение в приложениях  имеет показательная функция, в  качестве основания которой используют число  e , определяемое как   Численно оно равно

 e   = 2,71828182845904523536...

 

 Определенная так функция  называется  экспоненциальной  или  просто  экспонентой  и обозначается

 

Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция

 

f (z) = ez,

 

обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением

 

;

 

  Очевидно, что  = 1; при n = 1 значение Показательная функция равно е - основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:

 

 и 

 

при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция ex > 0 и при n ® ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x:

 

,

 

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w =, то z = lnw.

 

  Рассматривается также  Показательная функция  при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2x, (1/2) x и т.д.]. Показательная функция az связана с Показательная функция (основной) соотношением

 

=

 

  Показательная функция является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

 

,     (1)

 

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция

 

  Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

 

= =(cosy + isiny),     (2)

 

связывающую Показательную  функцию с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:

 

, .

 

  Функции

 

 =ch y, - i = sh y

 

называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях  математики.

 

  Из соотношения (2) следует, что Показательная функция  (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть или = 1. Производная Показательная функция равна самой функции: ()" =

 
2.  Свойства показательной функции

Свойства показательной  функции	y = , a > 1	y = , 0< a < 1
1.Область определения функции
2.Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, > 1	при x > 0, 0< < 1
	при x < 0, 0< < 1	при x < 0, > 1
4.Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6.Экстремумы.	Показательная функция экстремумов  не имеет.
7.Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных  значениях xи y;

 

 3. Примеры:

Пример № 1. (Для нахождения области определения функции). Какие значения аргумента  являются допустимыми для функций:

Пример  № 2. (Для нахождения области значений функции). На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

 

Пример  № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей). Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Пример № 4. (Для исследования функции на монотонность). Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Пример  № 5. (Для исследования функции на монотонность).Сделайте заключение относительно основания a, если:

В одной координатной плоскости  построены графики функций:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Как располагаются графики  показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Вывод:

при x < 0	чем больше значение основания  степени, тем ближе к оси Ox располагается график показательной функции;
при x = 0	графики показательных функций  пересекаются в одной точке (0;1);
при x > 0	чем больше значение основания  степени, тем дальше от осиOx располагается график показательной функции.

 

В одной координатной плоскости  построены графики функций:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Как располагаются графики  показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Вывод:

при x < 0	чем меньше значение основания  степени, тем дальше от оси Ox располагается график показательной функции;
при x = 0	графики показательных функций  пересекаются в одной точке (0;1);
при x > 0	чем меньше значение основания  степени, тем ближе к осиOx располагается график показательной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В данной курсовой работе по теме «Показательная функция» мною были рассмотрены ее понятие, основные свойства и графики.

Тема показательной функции, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.

В работе были приведены  примеры и задания, разные по сложности и по содержанию.

Курсовая работа, по моему  мнению, выполнена в рамках методики преподавания математики и может  быть использована как наглядное  пособие для студентов дневного и заочного отделений.

 

 

 

Список литературы.

1.   Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 кл. общеобр. учреждений.М.: Просвещение, 2001.
2. К.О. Ананченко Г.Н. Петровский, «Алгебра и начала анализа», Мн., «Народная асвета», 1997 г.
3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В, «Алгебра и начала анализа», учебник для 10–11 классов общеобразовательных, Просвещение 2003г.
4. Н.Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса», М., «Просвещение», 1990 г.