Применение производной

В экономике  часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление. 

5. Производная в  приближенных вычислениях 

5-1. Интерполяция 

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность. 

Пусть K_n - система узловых точек a = x₀ < x₁ <…< x_n = b. Функция S_k(x) называется сплайн-функцией S_k(x) степени k≥0 на K_n, если

а) S_k(x) є C^k-1([a, b])

б) S_k(x) - многочлен степени не большей k 

Сплайн-функция  Ŝ_k(x) є S_k(K_n) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝ_k(x_j) = f(x_j) для j = 0,1,…,n 

В приложениях  часто бывает достаточно выбрать  k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.

Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [x_j-1 ,x_j]

Здесь s²_j, c_j1, c_j0 неизвестны для j = 1, 2, …, n

Последние исключаются  в силу требования s(x_j) = y_j:

Дифференцируя эту функцию и  учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:

относительно  n+1 неизвестных s²₀, s²₁,…, s²_n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения: 

Нормальный  случай(N):

 

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(x_n-x₀))=f(x)):

 

Заданное  сглаживание на границах:

 

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.

 

 

Сплайн-функция  получается такая: 

 

5-2. Формула Тейлора 

Разложение функций  в бесконечные ряды позволяет  получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах 

Говорят, что  функция разлагается на данном  промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд  a₀ + a₁(x - a) + a₂(x - a)² + … + a_n(x - a)ⁿ + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно:

Пусть функция  f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.  

С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций:

 

5-3. Приближенные вычисления 

Часто бывает, что  функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:

 

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654

Решение: , x₀=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:

С помощью этой формулы можно получить несколько  удобных формул для приближенных вычислений:

 

Заключение 

Применение производной  довольно широко и его сложно полностью  охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.  

 

Литература