Разрывные функции

1. Разрывные функции

 

 

1. Основные понятия

Введем основные понятия, используемые в работе.

Дана функция определенная в окрестности точки .

Производной функции  в точке называется предел в точке (конечный) отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е.

 

Производная функции  в точке обозначается символом

 

Если  не существует, то функция не имеет производной в точке .

Если точка  не является предельной для области определения , то не имеет смысла.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е.

 

Так как  (будучи значением функции) есть некоторое действительное число, то функция , непрерывная в точке , имеет конечный предел в этой точке, равный .

Если  не имеет смысла, т.е. если не есть предельная точка множества значений аргумента, то говорят о непрерывности в точке не имеет смысла с точки зрения принятого определения.

 

 

 

 

 

 

 

2. Точки разрыва функции

Если точка является предельной для области определения функции  и если условие непрерывности

 

не выполняется, то точка  называется точкой разрыва функции , а функция называется разрывной в точке .

 

 

Условие непрерывности может  не выполняться, если:

1. Не существует конечный предел в точке;
2. Точка не принадлежит области определения функции;
3. Существует конечный предел функции в точке , не равный значению функции в точке :

 

Отметим следующие типы точек  разрыва:

1. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы различны:

 

то точка  называется точкой разрыва первого рода (рис. 1).

                                   

                                                        рис.1.

Так как 

 

то функция  в точке разрыва первого рода не имеет предела. Сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать области определения функции.

Пример 1. Положим .

Имеем:

не существует.

Точка есть точка разрыва первого рода.

Пример 2.

Функция определена всюду, кроме  точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки .

Имеем:

 

Точка точка разрыва первого рода. (рис.2)

                                          

рис.2

2. Функция, имеющая бесконечный предел в точке ( - действительное число), является разрывной в этой точке.

Пример 1. Положим . Имеем: ; точка 0 есть точка разрыва. (рис. 3)

                                        

                                                           рис. 3

Пример 2. Положим Имеем . Тогда точка 5 есть точка разрыва функции. (рис.4)

рис.4

3. Функция в точке имеет различные односторонние пределы, причем хотя бы один из них бесконечен.

Пример 1. Положим . Имеем:

  (рис. 5)

Точка есть точка разрыва функции второго рода.

рис.5

Пример 2. Положим  Имеем:

 

Точка есть точка разрыва функции второго рода. (рис.6)

 

рис.6

4. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Такая точка разрыва называется обычно точкой разрыва второго рода. В этом случае не существует .

 

Пример 1. Функция

 

имеет точку 0 точкой разрыва  второго рода, т.к. не существует ни конечного, ни бесконечного предела  в точке 0.

Пример 2. Имеем: (рис.7)

Исследуем поведение функции  в окрестности точки .

Имеем:

 

 

В точке функция имеет разрыв второго рода.

Исследуем поведение функции  в окрестности точки

Имеем:

 

 

В точке функция имеет разрыв второго рода.

рис.7

5. Существует предел

в этом случае точка  является точкой разрыва (рис. 8).

рис.8

6. Если существует конечный предел но точка не принадлежит области определения функции , то точка есть точка разрыва (рис. 9)

рис.9

 

7. Если существует правый и левый конечные пределы функции  в точке и если эти пределы равны:

 

то точка  называется точкой устранимого разрыва. Если доопределить такую функцию, положив то получится функция, непрерывная в точке .

Пример 1. Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки (рис.10)

Имеем:

 

В точке  функция имеет точку устранимого разрыва.

рис.10

Пример 2. функция определена всюду, кроме точки . (рис.11) Точка является двусторонней предельной точкой. Исследуем поведение функции в окрестности данной точки.

Имеем:

следовательно, ,следовательно, точка является точкой устранимого разрыва.

рис.11

Итак, мы рассмотрели разрывные функции и выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Непрерывные функции

 

 

1. Функции, не имеющие производной. Правая и левая производные

 

Введем два новых определения. Если ∆ стремится к нулю, принимая т о л ь к о п о л о ж и т е л ь н ы е значения, то предел отношения

 

 

 

(если он существует) называется производной справа или правой производной от функции ƒ() в точке ₀, а если ∆ стремится к нулю, принимая т о л ь к о    о т р и ц а т е л ь н ы е значения, то предел этого же отношения (если он существует) есть производная слева или левая производная. Производную справа обозначают символом , а производную слева – символом .

Если производная справа и производная слева равны  между собой, то функция, очевидно, имеет  производную в точке ₀ в обычном смысле слова.

Наиболее простые примеры  функций, имеющих в некоторой  точке правую и левую производные, не совпадающие между собой, дают нам функции, графики которых  представляют собой ломаные линии.

В самом деле, пусть  ₁, ₂, … , _к, … , _s – некоторое число различных точек на оси . Построим ломаную так, чтобы ее вершины имели абсциссы, равные  х₁, ₂, … , _к, … , _s (рис. 12). Функция ƒ(), графиком которой является эта ломаная *), не имеет производной в точках ₁, ₂, … , _к, … , _s .

 

 

 

 

__________

*) Очевидно, каждая прямая, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ломаную не более чем в одной точке, и ломаная представляет собой график некоторой однозначной функции.

Для того чтобы это доказать, рассмотрим какую-нибудь точку Q с абсциссой _к. График функции в окрестности этой точки имеет вид, изображенный на рис. 13.

            

                   рис.12               рис.13               

Для всякой прямой линии  секущая в некоторой ее точке, а, следовательно, и касательная (как  предельное положение этой секущей), совпадают с самой прямой; значит, угол секущей, а, следовательно, и касательной к прямой с осью , есть тот же самый, что и угол самой прямой с осью х.

Обозначим угол прямой AQ с осью через α и угол прямой QB с осью через β. Проводим секущую через точку Q и точки М₁ и М₂, находящиеся слева и справа от Q. Левая секущая совпадает с прямой AQ, а правая – с прямой QB.

Ясно, что если рассматривать  Q как точку прикосновения, то у секущей будет два предельных положения, или, как иногда говорят, кривая в этой точке будет иметь правую касательную, совпадающую с прямой QB, и левую касательную, совпадающую с прямой AQ. Угол между осью и левой касательной, очевидно, равен α, а угол между осью и правой касательной равен β. Так как α и β различны, то и

tg α ≠ tg β.

Таким образом, в точке  Q у нашей линии нет определенной касательной, а так как производная равна тангенсу угла касательной с осью , то производная слева не равна производной справа и не существует в точке Q.

Рассмотрим еще один пример функций с различными производными слева и справа. Пусть требуется  найти производную от функции 

y=ƒ()=².

Функция, очевидно, определена в промежутке -1≤≤+1. График ее изображен на рис. 14. Кривая заканчивается в точках М(-1, +1) и N(+1, +1), так как для ||>1 функция не определена.

                                              

                                                                          рис. 14

Находим производную в  точке х:

 

Полагая х=0, находим значение производной в точке О(0, 0):

 

Чтобы найти предел, мы умножаем и числитель, и знаменатель на ²:

 

 

Так как рассматривается  арифметическое (положительное) значение квадратного корня, то ²=∆, если ∆х>0, но ²=-∆, если ∆<0.

Следовательно, если ∆>0, то

 

а если ∆<0, то

 

Мы видим, что производная  слева не равна производной справа, а потому наша функция не имеет производной. Точка (0, 0) есть угловая точка, в которой кривая не имеет определенной касательной.

Возможны случаи, что отношение  не имеет определенного предела ни тогда, когда ∆→0, принимая только положительные значения, ни тогда, когда ∆→0, принимая только отрицательные значения. В этом случае функция не будет иметь в данной точке производной ни в обычном смысле слова, ни в правой, ни в левой.

Как пример такого случая рассмотрим функцию =ƒ(), определенную двумя равенствами:

= sin при ≠0,

= ƒ()=0 при =0,

Вычислим производную  этой функции при х=0. Составим приращение ∆:

∆= ƒ(+∆)- ƒ();

при =0 будем иметь:

[∆]_х=0= ƒ(∆)- ƒ(0).

Так как 

ƒ()= sin ,      ƒ(∆) =∆ sin ,

и согласно принятому условию  ƒ(0)=0, то

[∆]_х=0= [ƒ(∆)]_x=0=∆ sin ,

а потому,

_x=0= sin .

Итак, значение производной  в точке (0, 0) должно быть равным

 

Но так как sin при ∆→0 не стремится ни к какому пределу, то при =0 не существует ни левой, ни правой касательной.

 

 

 

 

 

 

2. Функции, не имеющие производной ни в одной точке

 

До сих пор мы рассматривали  примеры функций, которые не имеют  производных лишь в отдельных  точках; однако, существуют такие непрерывные  функции, которые н е    и м е ю т п р о и з в о д н ы х   н и   в      о д н о й  т о ч к е. Такие функции могут быть заданы аналитически, но для этого приходится использовать теорию бесконечных рядов.

 

Приведем пример функции  подобного типа *), заданной с помощью  последовательности функций: ƒ₀(), ƒ₁(), … , ƒ_n(), …

 

Рассмотрим сначала вспомогательную  функцию  ₀(), положив ее равной расстоянию точки х до ближайшей целочисленной точки. Функция ₀() имеет график, изображенный на рис. 15. Функция ₀() – периодическая с периодом 1, т.е. ₀(+1)= φ₀(). Кроме того, ₀() линейна на каждом отрезке вида , где s – некоторое целое число. Угловой коэффициент графика ₀() внутри каждого отрезка равен +1 или -1.

                                             

       рис. 15

 

Рассмотрим теперь последовательность вспомогательных функций:

 

 

 

 

 

______________________

*) Этот пример принадлежит  голландскому ученому Ван-дер-Вардену

 

График каждой функции  _n() имеет вид, изображенный на рис. 16.

           

                                                               рис. 16

Функция имеет период , так как

 

и она линейна на каждом отрезке вида , причем угловой коэффициент графика будет снова +1 или -1.

Положим теперь

ƒ₀()=₀(),

         ƒ₁()=₀()+₁(),