Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Ноября 2012 в 11:41, курсовая работа
Введем основные понятия, используемые в работе.
Дана функция определенная в окрестности точки .
Производной функции в точке называется предел в точке (конечный) отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е.
ƒ2()=0()+1()+2(),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ƒn()=0()+1()+ … +n().
Рассмотрим бесконечную последовательность этих функций:
ƒ0(), ƒ1(), … , ƒn(), …
Покажем начала, что последовательность {ƒп()} – равномерно сходящаяся на всяком отрезке. В самом деле, рассмотрим разность
ƒn+р()- ƒn()=n+1()+n+2()+ … +n+р().
Так как 0() для любого меньше, чем 1, то n() для любого меньше, чем , а тогда
В правой части этого неравенства
находится убывающая
S
И
Следовательно, если n достаточно велико, то при произвольном p и любом x величина меньше любого наперед заданного числа. А это на основании критерия Коши и значит, что последовательность {ƒп()} равномерно сходится к некоторой функции ƒ(). Так как ƒ0()=0() и функции ƒ0(), ƒ1(), … , ƒn() представляют собой суммы конечного числа непрерывных функций, то сами они тоже непрерывна, а, следовательно, и предельная функция непрерывна.
Покажем, что функция ƒ()= не имеет производной ни в одной точке. Рассмотрим произвольную точку . Всегда найдется последовательность вложенных друг в друга отрезков ∆n вида
∆n=
(где sn – целые числа), заключающих точку . Длина отрезка ∆n будет равна , и поэтому на каждом таком отрезке найдется некоторая точка на расстоянии от х, равном . Обозначим эту точку на отрезке ∆n через хn .
Рассмотрим теперь для вспомогательных функций k отношение
Возможны два случая: k>n и kn.
Пусть k>n. Число будет представлять собой целое число периодов функций n+1(), …,n+р(), …; следовательно, для k>n имеем , а тогда
Пусть kn. Тогда на отрезке ∆k= функция линейна, а, следовательно, она будет линейна и на части отрезка ∆n, являющемся частью отрезка ∆k. При этом угловой коэффициент графика, как мы знаем, равен +1 или -1. Следовательно, для kn
Перейдем теперь к вычислению такого же отношения для функции
ƒk()=0()+1()+ … +k().
В этом случае мы имеем:
Предположим теперь, что kn; тогда
т.е. рассматриваемое отношение равно некоторому четному числу при нечетном n и нечетному числу при четном n, причем это число одно и то же для любых k>n и зависит только от n.
Из того, что не зависит от k, следует, что и соответствующее отношение для предельной функции
являющееся пределом при k→, также равно некоторому четному числу для нечетного n и равно нечетному числу для четного n.
Следовательно, это отношение не имеет предела при n→.
Но, с другой стороны, при n→, стремится к ; следовательно, если бы функция имела в точке производную, то существовал бы и предел отношения при n→, а мы видели, что его не существует.
Следовательно, в точке х не имеет производной, но так как – произвольная точка оси , то построенная функция не имеет производной ни в одной точке.
Первый пример функции, не имеющей производной ни в одной точке, был построен Вейерштрассом.
Функция Вейерштрасса задается рядом
,
где – произвольное нечетное число, а - положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется рядом поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при
Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке , строят две последовательности и сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения
имеют разные знаки, по крайней мере, при и
Более простой пример, основанный на той же идее, в котором периодические функции заменены периодическими ломаными, был построен Б. Л. Ван-дер-Варденом.
Пусть - функция, равная для каждого действительного числа х абсолютной величине разности между числом и ближайшим к нему целым числом.
Эта функция линейна на каждом отрезке вида где n-целое; она непрерывна и имеет период, равный единице.
Пусть тогда функция Ван-дер-Вардена задается равенством
Эта функция непрерывна на всей числовой оси и ни в одной точке не имеет конечной производной. Первые три частные суммы полученного ряда изображены на рис. 17.
Определения производной
и дифференциала функции
Однако дифференцируемые
функции комплексного переменного
обладают по сравнению с дифференцируемыми
функциями действительного
Дадим независимому переменному приращение и вычислим вызванное этим приращением приращение однозначной функции
Если существует предел отношения при стремлении
к нулю по любому закону, то этот предел
называется производной
функции в точке * и обозначается
Требование существования предела отношения
и его независимость от закона стремления
к нулю накладывает на функцию значительно
более сильные ограничения, чем аналогичное
требование для функции действительного
переменного . Так, если функция имеет производную,
то это значит, что существует предел
отношения при приближении
точки к точке по двум направлениям:
слева (при ) и справа (при ), и что эти пределы
совпадают. Требование же существования
производной для функции комплексного
переменного означает существование предела
отношения при приближении
точки к точке по любому пути, в частности,
по любому из бесконечного множества различных
лучей, и совпадение всех этих пределов.
Пусть тогда
где
и
В этих обозначениях
Пусть функция имеет производную в точке; тогда предел (1) существует и не зависит от закона стремления к нулю; в частности, при , т.е. при приближении точки по прямой, параллельной оси (рис.18), получим:
Выбрав т.е. устремляя точку
по прямой, параллельной оси (рис. 19), получим:
Так как предел отношения не должен зависеть от закона стремления к нулю, то из (2) и (3) следует, что
или
Эти условия, называемые условиями Коши-Римана или условиями Даламбера-Эйлера, должны быть выполнены в каждой точке, в которой функция имеет производную.
рис. 18 рис.19
При некоторых добавочных ограничениях, например, если потребовать существование полных дифференциалов функций , можно доказать, что условие Коши-Римана не только необходимы, но и достаточны для дифференцируемости функции .
Действительно, если функции имеют полный дифференциал, то
где и Каково бы ни было , имеем
Заменив на основании условий Коши-Римана в числителе правой части , получим
Так как , то
Но величина стремится к нулю при , т.е. при .
Следовательно, по какому бы закону приращение ни стремилось к нулю, из (5) получим
и достаточность условий Коши-Римана для существования доказана. Мы снова пришли к формуле (2), которая показывает, что дифференцирование функции по комплексному переменному (если оно возможно) равносильно вычислению частной производной по .
Если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в данной точке.
Функция, аналитическая во всех точках некоторой области, называется аналитической или голоморфной в этой области.
Пример 1. Выяснить, является ли аналитической функция
Решение. Если откуда
Следовательно, условие Коши-Римана не выполнено. Значит, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости.
Пример 2. Доказать, что функция является аналитической на .
откуда
следовательно, функция непрерывна на .
Условия Коши-Римана аналитичности функции выполнены, следовательно, функция является аналитической на .
Таким образом, мы рассмотрели непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке, правую и левую производные и функции комплексного переменного.
Заключение
В данной работе мы изучили и рассмотрели на примерах функции, не имеющие производной: разрывные и непрерывные. Раскрыли основные понятия функций.
Рассматривая разрывные функции, мы выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную:
то точка называется точкой разрыва первого рода.
в этом случае точка является точкой разрыва.
то точка называется точкой устранимого разрыва. Если доопределить такую функцию, положив то получится функция, непрерывная в точке .
Также мы рассмотрели непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке на примере функции Ван-дер-Вардена, правую и левую производные и функции комплексного переменного (условие Коши-Римана).
Список литературы