Разрывные функции

                    ƒ₂()=₀()+₁()+₂(),

                    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                             ƒ_n()=₀()+₁()+ … +_n().

Рассмотрим бесконечную  последовательность этих функций:

ƒ₀(), ƒ₁(), … , ƒ_n(), …

Покажем начала, что последовательность {ƒ_п()} – равномерно сходящаяся на всяком отрезке. В самом деле, рассмотрим разность

ƒ_n+р()- ƒ_n()=_n+1()+_n+2()+ … +_n+р().

Так как ₀() для любого меньше, чем 1, то _n() для любого меньше, чем , а тогда

 

В правой части этого неравенства  находится убывающая прогрессия, сумма которой S меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии такого же вида:

 

 

 

S

И

 

Следовательно, если n достаточно велико, то при произвольном p и любом x величина _{меньше любого наперед заданного числа. А это на основании критерия Коши и значит, что последовательность {ƒп}()} равномерно сходится к некоторой функции ƒ(). Так как ƒ₀()=₀() и функции ƒ₀(), ƒ₁(), … , ƒ_n() представляют собой суммы конечного числа непрерывных функций, то сами они тоже непрерывна, а, следовательно, и предельная функция непрерывна.

Покажем, что функция ƒ()= _{не имеет производной ни в одной точке.} Рассмотрим произвольную точку . Всегда найдется последовательность вложенных друг в друга отрезков ∆_n вида

∆_n=

(где s_n – целые числа), заключающих точку . Длина отрезка ∆_n будет равна , и поэтому на каждом таком отрезке найдется некоторая точка на расстоянии от х, равном . Обозначим эту точку на отрезке ∆_n через х_n .

Рассмотрим теперь для  вспомогательных функций _k отношение

 

Возможны два случая: k>n и kn.

Пусть k>n. Число будет представлять собой целое число периодов функций _n+1(), …,_n+р(), …; следовательно, для k>n имеем , а тогда

 

Пусть kn. Тогда на отрезке ∆_k= функция линейна, а, следовательно, она будет линейна и на части отрезка ∆_n, являющемся частью отрезка ∆_k. При этом угловой коэффициент графика, как мы знаем, равен +1 или -1. Следовательно, для kn

 

Перейдем теперь к вычислению такого же отношения для функции 

ƒ_k()=₀()+₁()+ … +_k().

В этом случае мы имеем:

 

Предположим теперь, что  kn;  тогда

 

т.е. рассматриваемое отношение  равно некоторому четному числу  при нечетном n и нечетному числу при четном n, причем это число одно и то же для любых k>n и зависит только от n.

Из того, что  не зависит от k, следует, что и соответствующее отношение для предельной функции

 

являющееся пределом  при k→, также равно некоторому четному числу для нечетного n и равно нечетному числу для четного n.

Следовательно, это отношение  не имеет предела при n→.

Но, с другой стороны, при  n→, стремится к ; следовательно, если бы функция имела в точке производную, то существовал бы и предел отношения при n→, а мы видели, что его не существует.

Следовательно, в точке х не имеет производной, но так как – произвольная точка оси , то построенная функция не имеет производной ни в одной точке.

Первый пример функции, не имеющей производной ни в одной  точке, был построен Вейерштрассом.

Функция Вейерштрасса задается рядом 

,

где – произвольное нечетное число, а - положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется рядом поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке , строят две последовательности и сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения

 

имеют разные знаки, по крайней  мере, при  и

Более простой пример, основанный на той же идее, в котором периодические  функции  заменены периодическими ломаными, был построен Б. Л. Ван-дер-Варденом.

Пусть - функция, равная для каждого действительного числа х абсолютной величине разности между числом и ближайшим к нему целым числом.

                                                         рис. 17

Эта функция линейна на каждом отрезке вида где n-целое; она непрерывна и имеет период, равный единице.

Пусть тогда функция Ван-дер-Вардена задается равенством

 

Эта функция непрерывна на всей числовой оси и ни в одной  точке не имеет конечной производной. Первые три частные суммы полученного ряда изображены на рис. 17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Функции комплексного переменного

Определения производной  и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают  с соответствующими определениями  для функций действительного  переменного. Поэтому почти все  основные теоремы и формулы дифференциального  исчисления без изменения распространяются и на функции комплексного переменного.

Однако дифференцируемые функции комплексного переменного  обладают по сравнению с дифференцируемыми  функциями действительного переменного  многими дополнительными свойствами, причина появления которых заключается  в том, что условие для существования  производной функции комплексного переменного, как будет видно  из дальнейшего, является несравненно  более ограничительным, чем условие для существования производной функции действительного переменного.

Дадим независимому переменному  приращение и вычислим вызванное этим приращением приращение однозначной функции

 

Если существует предел отношения  при стремлении к нулю по любому закону, то этот предел называется производной  функции в точке * и обозначается  
           
Требование существования предела отношения и его независимость от закона стремления к нулю накладывает на функцию значительно более сильные ограничения, чем аналогичное требование для функции действительного переменного . Так, если функция имеет производную, то это значит, что существует предел отношения при приближении точки к точке по двум направлениям: слева (при ) и справа (при ), и что эти пределы совпадают. Требование же существования производной для функции комплексного переменного означает существование предела отношения при приближении точки к точке по любому пути, в частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, и совпадение всех этих пределов.

Пусть тогда   

 

 

 

     где 

 

и

 

В этих обозначениях

 

Пусть функция имеет производную в точке; тогда предел (1) существует и не зависит от закона стремления к нулю; в частности, при , т.е. при приближении точки по прямой, параллельной оси (рис.18), получим:

 

 

Выбрав  т.е. устремляя точку по прямой, параллельной оси (рис. 19), получим: 

Так как предел отношения не должен зависеть от закона стремления к нулю, то из (2) и (3) следует, что

 

или

 

Эти условия, называемые условиями Коши-Римана или условиями Даламбера-Эйлера, должны быть выполнены в каждой точке, в которой функция имеет производную.

            

                                         рис. 18         рис.19

При некоторых добавочных ограничениях, например, если потребовать  существование полных дифференциалов функций , можно доказать, что условие Коши-Римана не только необходимы, но и достаточны для дифференцируемости функции .

Действительно, если функции  имеют полный дифференциал, то

 

 

где и Каково бы ни было , имеем

 

Заменив на основании условий  Коши-Римана в числителе правой части , получим

 

Так как , то

 

Но величина стремится к нулю при , т.е. при .

Следовательно, по какому бы закону приращение ни стремилось к нулю, из (5) получим

 

и достаточность условий  Коши-Римана для существования доказана. Мы снова пришли к формуле (2), которая показывает, что дифференцирование функции по комплексному переменному (если оно возможно) равносильно вычислению частной производной по .

Если функция  дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности  этой точки, то она называется аналитической  в данной точке.

Функция, аналитическая  во всех точках некоторой области, называется аналитической или голоморфной  в этой области.

 

Пример 1. Выяснить, является ли аналитической функция

Решение. Если откуда

 

Следовательно, условие Коши-Римана не выполнено. Значит, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Пример 2. Доказать, что функция является аналитической на .

 

откуда  

 

следовательно, функция непрерывна на .

Условия Коши-Римана аналитичности функции выполнены, следовательно, функция является аналитической на .

 

 

Таким образом, мы рассмотрели  непрерывные функции, не имеющие  производной ни в одной точке, правую и левую производные и функции комплексного переменного.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение 

 

В данной работе мы изучили  и рассмотрели на примерах функции, не имеющие производной: разрывные  и непрерывные. Раскрыли основные понятия функций.

Рассматривая разрывные функции, мы выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную:

1. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы различны:

 

то точка  называется точкой разрыва первого рода.

2. Функция, имеющая бесконечный предел в точке ( - действительное число), является разрывной в этой точке.

 

3. Функция в точке имеет различные односторонние пределы, причем хотя бы один из них бесконечен.

 

 

4. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Такая точка разрыва называется обычно точкой разрыва второго рода. В этом случае не существует .

 

5. Существует предел

в этом случае точка  является точкой разрыва.

 

6. Если существует конечный предел но точка не принадлежит области определения функции , то точка есть точка разрыва.
7. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы равны:

 

то точка  называется точкой устранимого разрыва. Если доопределить такую функцию, положив то получится функция, непрерывная в точке .

Также мы рассмотрели непрерывные  функции, не имеющие производной  ни в одной точке на примере  функции Ван-дер-Вардена,  правую и левую производные и функции  комплексного переменного (условие  Коши-Римана).

Список литературы

 

1. Виленкин А. XIII конференция юных математиков в Батуми // Квант. – 1982. - №4
2. Виноградов И.В. Математическая энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
3. Гребенча М.К., Новоселов С.И. Курс математического анализа. Часть 1. – М.: Высшая школа, 1960
4. Гусак Г.М., Капуцкая Д.А. Математика для подготовительных отделений вуза. – Минск.: Вышэйшая школа, 1989
5. Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного с элементами операционного исчисления. – С.-П.: Лань, 2002
6. Мартынов Б. О максимумах функции Ван-дер-Вардена // Квант. – 1982. - №6
7. Немыцкий В.В, Слудская М.И., Черкасов А.Н. Курс математического анализа. Том 1. – М.: ГИТТЛ, 1940
8. Немыцкий В.В, Слудская М.И., Черкасов А.Н. Курс математического анализа. Том 1. – М.: ГИТТЛ, 1957
9. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – М.: Физматлит, 2001
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. – М.: Физматлит, 2001