Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

a0(p2 - n2) = 0,

a1[(p + 1)2 - n2] = 0,

ak[(p + k)2 - n2] + ak - 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,

откуда находим

p = ? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,

В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие  значениям p = n и p = - n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального  уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1 , c2 - постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.

Предлагаем читателю найти методом степенных рядов  решения дифференциальных уравнений

1) y" = xy,

2) xy" + (3 + x2)y' + 30y = 6x4 + 58x3 - 8x + 30,

удовлетворяющие условиям y(0) = 1, y'(0) = 0.

(Ответы:

1)

2) y = 1 - x2 + 2x3.)

Приведенные в  статье примеры отражают лишь малую  часть всевозможных типов задач, решения которых выгодно и  удобно находить методом степенных  рядов. Множество таких задач  практически неисчерпаемо.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вишик М.И. Тригонометрические ряды // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 1. C. 122-127.

2. Воробьев Н.Н.  Теория рядов. М.: Наука, 1986. 408 с.

3. Маркушевич А.И. Ряды: Элементарный очерк. М.: Наука, 1979. 191 с.

4. Фихтенгольц  Г.М. Курс дифференциального и  интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 2. 800 с.

5. Эльсгольц Л.И. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

* * *

Василий Васильевич Сильвестров, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического  анализа и дифференциальных уравнений  Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова. Область научных  интересов - приложения теории функций  комплексного переменного в механике. Автор и соавтор более 60 научных  статей и двух учебных пособий.

 

 
 

5. Приложения степенных  рядов 

Степенные ряды находят  применение в таких задачах, как  приближенное вычисление функций с  заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд  Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых  наиболее часто встречающихся функций  при достаточно малых значениях х:

         Интегрирование дифференциальных уравнений с

                                  помощью рядов. 

   Теорема 1. Об аналитичности решения. Пусть дано линейное уравнение второго порядка:

            (1)

   Если  - аналитические функции x в окрестности точки x₀ , то решения уравнения (1)  тоже будут аналитическими функциями в точке x₀ и, следовательно, их можно представить в виде ряда:

    .         (2)

   Теорема 2. О разложимости решения в обобщенный степенной ряд. Если (1) удовлетворяет условиям теоремы 1, но при этом x=x₀ является нулем порядка s для функции , где s-конечное число, нулем порядка s-1 или выше для и нулем порядка не ниже s-2 для (s>2). Тогда существует хотя бы одно нетривиальное решение (1), которое может быть представлено в виде обобщенного степенного ряда:

    ,                                                                           (3)

     где  - некоторое действительное число.      

         Замечание. Второе линейно независимое решение (1) тоже имеет вид (3) или может быть представлено в виде произведения обобщенного степенного ряда и  . 

         Замечание. В конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий уравнению (1). При подстановке решения в уравнение (1) мы должны получить тождество, которое позволит определить коэффициенты или и . А далее полученный ряд исследуется на сходимость и вычисляется его сумма, которая и будет частным решением (1). Линейная комбинация  частных решений в виде бесконечных рядов – общее решение (1). 

         Перепишем (1) в виде: 

    .                    (4) 

         Замечание. С помощью замены переменных можно свести процесс поиска решения в окрестности точки к поиску решения в окрестности точки x=0. В дальнейшем будем, не нарушая общности, считать, что решение ищется в точке  x=0. Это решение имеет вид:

                      (5)

         Решение (5) подставим  в уравнение (4), приведем подобные и  приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Т.о. получим рекуррентные соотношения, позволяющие определить коэффициенты . Первые одно или два уравнения позволяют вычислить . Эти соотношения называются определяющими.  

   Теорема Фукса (позволяет определить решение в виде (5)). Пусть дано дифференциальное уравнение (4), такое, что функции имеют полюсы в точке . Тогда решения этого уравнения можно искать в виде обобщенного степенного ряда (3) при условии, что и остаются конечными в x₀.  

         Пример. Пусть дано (4) и удовлетворяют условиям теоремы Фукса, т.е.  могут быть представлены в виде:

      .

    

   Подставим решение (5) в (4), учитывая выражения для . Вычислим производные от решения и тоже подставим в (4):

    .

   В итоге получим:

      (*)

   Минимальная степень x в (*) – ( ).  Вычислим коэффициенты при , т.е. при n=0:

    .

   Квадратное  уравнение относительно – определяющее соотношение, решив его, получим . В общем виде, выписав соотношение при , найдем зависимости для .

   

   Из  определяющего уравнения  мы находим два  значения .

   1)Предположим, что не равны между собой и их разность не равна целому числу. Тогда можно последовательно вычислить два ряда  коэффициентов соответствующих . После этого получим два обобщенных степенных ряда типа (5), которые определяют линейно-независимые решения уравнения (4).

   2)Пусть , значит по соотношению (5) можно найти только одно решение (4), а второе будем искать с помощью следующего приема. Пусть и линейно-независимые решения (4), -произвольные функции. Подставим и в уравнение (4) и исключим из него :

   

   Левая часть этого уравнения, с точностью до множителя  будет производной от выражения:

    .

    .

         3)Пусть , но натуральное число ( ). Тогда мы можем выписать коэффициенты ряда соответствующие : . Для ряда, который соответствует , процесс вычисления коэффициентов обрывается на номере n-1. Соотношения, которые мы получаем, связывают коэффициент с … .

    , .

   Значит, от этого соотношения  остается равенство:

   

Если  уже вычисленные  коэффициенты не удовлетворяют этому равенству, то найти второе частное решение вида (5) -  невозможно, т.е. предложенный метод не позволяет определить общий интеграл. Если же это соотношение выполняется, тогда можно все коэффициенты выразить через .Тогда остается неопределенным и ряд для корня строится с точностью до двух параметров . 

   Пример. Гипергеометрический ряд.

    - постоянные  параметры.

   Это уравнение имеет  две особые точки  x=0 и x=1, т.е. мы можем искать решение уравнения в виде ряда в окрестности 0 или 1, т.к. для обеих точек условие теоремы Фукса выполняются. Будем искать решение в виде:

    

   Подставим в исходное уравнение:

    Выпишем коэффициенты при соответствующих  степенях x:

   

   

   

   В этом случае каждое решение может  быть представлено в  виде обобщенного  степенного ряда.

   1).v₁=0,

   

   Гипергеометрический ряд Гаусса. Этот ряд сходится абсолютно при любых значениях , если |x|<1, и сходится при |x|=1 абсолютно, если . Обозначается этот ряд следующим образом: , где F-гипергеометрическая функция Гаусса.

   2). , тогда:

   

     

   Тогда общее решение  исходного уравнения: . 

                                  Уравнение Бесселя. 

    ,                                                                          (1)

   где - произвольное действительное число, называется уравнением Бесселя.   

   В некоторых случаях  может быть комплексным, но тогда предполагается неотрицательной его действительная часть.

   Для (1) выполняется условие теоремы  Фукса - x=0 особая точка. Значит, решение будем искать в виде:

             (2)

   Если  подставить (2) в (1), то получим следующие  соотношения при степенях x.

         (3)

   В качестве определяющего соотношения  выберем первое уравнение системы, тогда          

                                 ,                                                                     (4)

                            

    ,        (5)  

     .                  (6)

         Рассмотрим второе равенство из (3):

           .    (7)

   Т.к. , а каждое определяется через , то все нечетные коэффициенты будут равны нулю. А все четные коэффициенты будут определяться по формуле (6).

    .                 (8)

   В (8) выразим все коэффициенты через :

    .

         Воспользуемся свойствами гамма-функции ( ) и запишем коэффициенты в компактной форме:

    ,         (9)

    .      (10)

   Если  , то .      (11)

    .      (12)

         Определение. Ряд (2) соотвествующий , с коэффициентом , определяющемся по формуле (9)  и - по формуле (10) – называется функцией Бесселя первого рода m-ого порядка.