Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

               (13)

   Если  , то второе линейно-независимое решение имеет вид:

               (14)

         Ряды (13) и (14) сходятся для любых x.

         Заметим, что (14) определяет функцию Бесселя  только для дробных значений m, поскольку при целых отрицательных m  коэффициенты этого ряда не существуют. Но т.к. функция Бесселя непрерывна, мы можем продолжить ее и для m=-n, где n – целое число. Т.е. . В этом случае мы получим только одно линейно-независимое решение. 

         Периодические решения дифференциальных уравнений. 

         Дано дифференциальное уравнение вида:

                                                                        (1) 

   Пусть нужно найти периодическое решение  некоторого дифференциального уравнения, тогда естественно искать решение  в виде соответствующего ряда Фурье.

    .       (2) 

   Если  решение  уравнения (1) имеет период Т, то тогда правая часть (1) тоже периодическая функция с периодом Т. Подставим известное решение в уравнение (1) и,  заменив х=х+Т, получим:

   

   Воспользуемся тем, что решение имеет период Т, т.е.:

   

   Для того, чтобы последнее выражение  было тождеством необходимо и достаточно, чтобы F была периодической, т.е. функция F вдоль интегральной кривой имела период Т по явно входящему аргументу х.

         Замечание. Если правая часть (1) при любом выборе , не является периодической функцией по х, то периодического решения (1) не существует.

         Замечание. Если функция F не зависит явно от аргумента х, то F можно рассматривать как периодическую функцию от х любого периода и поэтому у уравнения (1) будут существовать периодические решения любого периода.

         Пусть дано уравнение       (3)

   и требуется найти периодическое  решение этого уравнения. Предположим, что f(x) – периодическая функция с периодом 2p. Раз правая часть имеет период 2p, то мы ее можем представить в виде ряда Фурье.

         (4)

           (5)

   Подставим (4) и (5) в (3):

   

   Выпишем коэффициенты:

       (6)

   Периодическое решение полностью определено. 

  Замечание. Ряд (5) с определенными коэффициентами (6) сходится и допускает двукратное дифференцирование. В силу того, что f(x) непрерывна, ряд сходится равномерно и значит решение y(x) – сумма этого ряда.

   Замечание. Если коэффициенты в периодическом решении и число а мало отличается от целого числа n, тогда наступает явление резонанса, т.е. резко возрастает один из коэффициентов   . Если a=n и хоть один из коэффициентов не равен 0, то периодического решения не существует. Если оба коэффициента , то при a=n периодическое решение уравнения существует.

3. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ  РЯДОВ 

      Степенные ряды очень широко применяются в  приближенных вычислениях: для вычисления функций, определенных интегралов, численного интегрирования дифференциальных уравнений  и т. п.

      При этом полезно знать разложение в  степенной ряд Тейлора некоторых  функций; в скобках указан интервал сходимости ряда.

1.   

2.    

3.   

4.   

5.      

6.    

      Пример 15. Вычислить с точностью до 0,0001 , разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав почленно.

      Воспользуемся разложением функции  , положив .

  

    

      Получили  знакочередующийся ряд Лейбница. Для оценки остатка ряда используем признак Лейбница: . При вычислении интеграла необходимо обеспечить точность 0,0001, т. е. , следовательно, начиная с четвертого члена (0,00002), можно все члены ряда отбросить, вычисления ведем с одним запасным знаком, округляем до 0,0001:

                               .

      Пример 16. Найти пять первых, отличных от нуля членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения

                               ,

удовлетворяющего условию .

      Пусть решение данного дифференциального  уравнения  можно представить в виде степенного ряда по степеням :

      

По условию 

       (*).

      Найдем  коэффициенты ряда.

Из условия 

       ;  ;   .

      Дифференцируем  обе части дифференциального  уравнения:

    

      

     

      Подставим найденные коэффициенты в (*):