Решение жестких краевых задач с помощью Maple

Введение

      Системы компьютерной математики (СКМ) класса Maple были созданы корпорацией Waterloo Maple, Inc. (Канада) как системы компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных (аналитических) вычислений [1]. Система содержит средства для выполнения быстрых численных расчетов, лежащих в основе математического моделирования различных явлений окружающего нас мира, систем и устройств различного назначения. Все это сочетается с новейшими и весьма эффектными средствами визуализации вычислений.

      Maple — типичная интегрированная программная система. Она объединяет в себе:

• мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
• современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
• мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
• ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
• численный и символьный процессоры;
• систему диагностики;
• библиотеки встроенных и дополнительных функций;
• пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ. [1]

      Важное  место в математических расчетах занимает решение дифференциальных уравнений. К нему, в частности, обычно относится анализ поведения различных систем во времени (анализ динамики), а также вычисление различных полей (тяготения, электрических зарядов и т. д.). Трудно переоценить роль дифференциальных уравнений в моделировании физических и технических объектов и систем, Maple позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде. Разработчиками системы объявлено о существенном расширении средств решения дифференциальных уравнений и о повышении их надежности в смысле нахождения решений для большинства классов дифференциальных уравнений.

      Цель  работы: получить навыки решения жестких краевых задач с помощью пакета прикладных программ Maple 10, в частности с помощью пакета функций student.

      Задачи  работы:

1. Сформировать знания о жестких краевых задачах;
2. Изучить пакет функций student;
3. Изучить функцию dsolve;
4. Решить жесткую краевую задачу с помошью Maple 10.

 

1 ЖЕСТКАЯ Краевая задача

      Жесткая краевая задача — дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.

      Решение жесткой краевой задачи ищется в виде суммы линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.[2] 
 

 

2 student - пакет для изучения математики и программирования

      Этот  пакет, специально написанный для обучения математике и работе с программой. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так что студент может понять последовательность действий, приводящих к результату.

      Интегралы, суммы и пределы приведены в невыполняемой форме. Включены также команды для преобразования выражений, замены переменных, интегрирования по частям, дополнения до полного квадрата и исключения сомножителей. Другие команды вычисляют расстояния, наклоны кривых, средние точки сегментов.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.1 Состав пакета

       В Maple 10 пакет имеет следующие функции (показаны после вызова пакета):

      Рисунок 1 – Состав пакета student. 
 
 
 
 

     Команды пакета student, относящиеся к разделу математики "Математический анализ"(таблица 1):

      Таблица 1 – Команды раздела «Математический анализ»

Далее приведены графические функции пакета student (таблица 2):

      Таблица 2 – Графические функции пакета student

 

Геометрические  функции пакета student(таблица 3):

      Таблица 3 - Геометрические функции пакета student

 
 

 Функции преобразования выражений и команд(таблица 4):

Таблица 4 - Функции преобразования выражений и команд.

 

        Из всего выше перечисленного для решения краевых задач я буду использовать команды diff и Diff.

 

2.2 Функции дифференцирования выражений diff и Diff

     Вычисление  производных функций fⁿ(х) = d fⁿ(x)/dxⁿ п-го порядка - одна из самых распространенных задач математического анализа. Для ее реализации Maple 10 имеет следующие основные функции:

            diff(a, х1, х2,  , хn)  diff(a, [х1, х2,  , хn])

            Diff(a, х1, х2,  , хn)  Diff(a, [х1, х2,  , хn])

      Здесь а - дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности, функция f (х1, х2, ... , хn) ряда перемепных, по которым производится дифференцирование. Функция Diff является инертной формой вычисляемой функции diff и может использоваться для естественного воспроизведения производных в документах.

      Первая  из этих функций (в вычисляемой и  в инертной форме) вычисляет частные  производные для выражения а  по переменным х1, х2, ... , хn. В простейшем случае diff(f(х),х) вычисляет первую производную функции f(x) по переменной х. При п, большем 1, вычисления производных выполняются peкypcивно, например, diff(f(x),х,у) эквивалентно diff(diff(f(x),х),у). Оператор $ можно использовать для вычисления производных высокого порядка. Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указазывается порядок производной. Например, выражение diff(f (х) ,х$ 4) вычисляет производную 4-го порядка и эквивалентно записи diff(f(х),х,х,х,х). А diff(g (х ,у) ,х$2, у$3) эквивалентно diff (g (х ,у),х, х,у,у,у). [1,2,3] 
 
 

       Примеры визуализации и вычисления производных:

      Рисунок 2 – Вычисление производных с помощью команды Diff. 

       Как видно из рисунка, функции вычисления производных могут использоваться с параметрами, заданными списками. 
 
 
 

       Приведенные ниже примеры показывают эти возможности и иллюстрируют дифференцирование функции пользователя для двух переменных:

       Рисунок 3 –  Дифференцирование функции двух переменных.

 

3 Основная функция dsolve

      Кроме функций diff и Diff для решения системы простых дифференциальных уравнений используется функция dsolve в разных формах записи:  

      dsolve (ODE)

      dsolve(ODE, y(x), extra_args)

      dsolve({ODE, ICs}, y(x),  extra_args)

      dsolve({sysODE,  ICs},  {funcs}, extra_args)

      Здесь ODE — одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий,

      у (х) — функция одной переменной,

      Ics — выражение, задающее начальные условия,

      {sysODE} — множество дифференциальных уравнении.

      {funcs} — множество неопределенных функций,

      extra_argument — опция, задающая тип решения.

      Параметр  extra_argument задает класс решаемых уравнений. Отметим основные значения этого параметра:

      •  exact — аналитическое решение (принято по умолчанию);

      •  explicit — решение в явном виде;

      •  system — решение системы дифференциальных уравнений;

      •  ICs — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями;

      •  formal series — решение в форме степенного многочлена;

      •  integral transform — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.;

      •  series — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order;

      •  numeric — решение в численном виде.[3,4]

 

4 Аналитическое решение дифференциальных уравнений

4.1 Общее решение дифференциальных уравнений

      Для нахождения аналитических решений  дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve.

      Параметры могут указывать метод решения  задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y''+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

      Общее решение дифференциального уравнения  зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.