Сеточные методы в задачах аэродинамики

РЕФЕРАТ 
 

      Курсовая  работа содержит 34 с., 8 рисунков, 6 источников, 1 приложение. 
 

      МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ПОЛЕТ, ПИЛОТ, ДЕЛЬТАПЛАН 
 

      Цель  данной работы – используя сеточные методы реализовать математическую модель полета пилота на дельтаплане при старте с высоты в 1 километр, учитывая все основные факторы, влияющие на его полет, так же оценить аэродинамическое качество представленной модели и сравнить его с известными современными данными.

     В качестве сеточного метода в данной работе рассмотреть метод правой конечно-разностной схемы, так как он является широко известным и простейшим методом интерполяции.

     Для упрощения анализа результатов  разработать программную реализацию метода правой конечно-разностной схемы и представить ее в математическом пакете MATLAB.

 

СОДЕРЖАНИЕ 
 

Введение            5

1 Концептуальная постановка задачи               6

 1.1 Геометрические элементы модели полетов             6

 1.2 Концептуальная постановка                7

2 Метод  конечно-разностных схем        9

3 Математическая модель                15

 3.1 Основные положения полета               15

 3.2 Уравнения движения                16

4 Расчет математической модели полета              22

5 Анализ результатов                 24

  5.1 Изменение начальной скорости              24

  5.2 Изменение ветра                 25

Заключение                   27

Библиографический список                28

Приложение А  Реализация метода конечно-разностных схем          29 
 
 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

    Аэродинамика  является теоретической основой  авиационной, ракетно-космической и артиллерийской техник, фундаментом аэродинамического расчета современных летательных аппаратов.

    Важнейшие выводы аэродинамики используются при  исследовании внешнего обтекания различных тел или движения воздуха (газа) внутри каких-либо сооружений. Поэтому без прочных знаний аэродинамики невозможно стать хорошим инженером в области авиации, артиллерии, ракетостроения, автомобильного транспорта, двигателей внутреннего сгорания и др., специалистом отраслей техники, где в том или ином виде можно встретиться с явлениями течения воздуха или газа.

    В данной курсовой работе наряду с общими законами движения газовой среды рассматривается применение аэродинамики главным образом в авиационной технике и современной легкой авиации. При этом работа  включает изложение основных понятий и определений аэродинамики, конечно разностных методов повышенной точности, а так же сведения об аэродинамическом расчете летательного аппарата - дельтаплана.

    Естественно, что в рамках рассматриваемой задачи заданным методом нельзя охватить всего многообразия проблем, с которыми сталкивается аэродинамическая наука при описании полетов.

    Цель  данной курсовой работы – реализовать  математическую модель полета пилота на дельтаплане, сравнить аэродинамическое качество представленной модели с известными современными данными, а так же разработать приложение облегчающее исследование данной математической модели. 
 
 
 
 

     1 КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 
 

     1.1 Геометрические элементы модели полета

     Дельтаплан  — аппарат (рисунок 1), представляющий собой три дюралюминиевых трубы, соединённых между собой в передней точке и образующих в горизонтальной плоскости веер, с углом между трубами от 90 до 140 градусов.

Между трубами натянуто полотно лёгкой, но плотной и прочной синтетической  ткани. Две боковые трубы и  задняя кромка ткани образовывают при виде сверху почти треугольник. Для сохранения формы основные трубы фиксируются вспомогательными трубами меньшего диаметра и стальными тросиками. Пилот в специальной подвеске, первоначально позаимствованной от парашюта, подвешивается на верёвке за центральную трубу в определённое место, вблизи от центра масс аппарата. Руками пилот держится за трапецию — конструкцию из трёх труб, при виде спереди представляющую собой чаще треугольник с горизонтальным основанием, фиксируемую в пространстве растяжками — стальными тросиками диаметром в несколько миллиметров. 

Рисунок 1  –  Дельтаплан

      

     Управление  полётом осуществляется пилотом  путём перемещения своего тела относительно точки подвески. Взлёт и посадка  производятся на собственные ноги.

     Скорость  современных дельтапланов составляет от 28 км/ч до 130 км/ч, высота полётов достигает 6 и более километров, что требует применения кислородного оборудования для высотных полётов. Аэродинамическое качество современных дельтапланов составляет до 19 единиц, т.е.  начиная свой полет с вершины высотой в 1 километр пилот способен преодолеть расстояние в величину, приблизительно равную 19 километрам. Опытные пилоты дельтапланов могут держаться в воздухе многие часы, преодолевая расстояния в сотни километров. Однако для этого требуется хорошая физическая подготовка, так как управление дельтапланом требует значительно больше физических усилий, чем классическим планером-парителем.

     Основное  достоинство дельтаплана — простота конструкции, сочетающаяся с её достаточной жёсткостью, выдерживающей нагрузки от  минус 3G до плюс 6G. Благодаря этому дельтаплан дешевле планера и компактнее — для перевозки достаточно иметь автомобиль. В сложенном виде помещается в чехол длиной 2 метра и диаметром до 40 см, но большинство предпочитает не разбирать аппарат менее чем в 6-метровый «пакет», что уменьшает время последующей сборки. Вес современного дельтаплана в среднем 30 кг, хотя у разных специфических моделей колеблется от 20 до 50 кг.

     Из-за особенностей аэродинамической компоновки ранние модели дельтапланов теряли управляемость при пикировании с высокой скоростью (так называемое флаттерное пикирование). Однако, на всех современных аппаратах эта проблема решена. Низкие полетные скорости (сравнимые со скоростями воздушных потоков) не позволяют эксплуатировать дельтапланы в сложных погодных условиях (облачность, активная термическая деятельность).

     1.2 Концептуальная постановка

     Кратко  цель данной работы звучит так: «как прыгнуть, чтобы улететь подальше и не разбиться?» Изменяя свою позицию во время полета, пилот может контролировать траекторию своего полета в воздухе, управляя углом атаки. Задача формулируется следующим образом: как должен пилот управлять своим телом, чтобы приземлиться настолько далеко, насколько возможно.

     Если  рассматривать статичный полет, где пилот не имеет возможность  управлять аппаратом, нужно учитывать ряд замечаний. Чтобы разогнаться пилот начинает полет с поверхности, находящейся к линии горизонта под отрицательным градусом. Таким образом он задает угол атаки. Если этот угол будет слишком велик, то система пилот-дельтаплан быстро станет неустойчивой, что приведет к крушению. Допустимый угол атаки при полете на дельтаплане составляет 24⁰ [5]. Также к крушению системы может привести сильный ветер, поэтому его скорость так же следует задавать в строго ограниченном интервале. Нормальными условиями для полета служат полный штиль, либо легкий ветер до 1 м/с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2 МЕТОД КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 
 

     Универсальным численным методом решения граничных  задач, в основе которых лежат  дифференциальные уравнения n-го порядка, являются методы конечных разностей (сеток). Достоинство конечно-разностных методов  состоит в том, что они сводят решение краевой задачи для дифференциального  уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.

     Рассмотрим  идею конечно-разностных  методов. Имеем  линейное дифференциальное уравнение второго порядка, определенное на отрезке [a,b]

     ,                           (1)

где - известные функции ;

     Граничные условия в общем виде выражаются следующим образом:

     ,                                                                  (2)

     ,                                                                  (3)

       – заданные постоянные, причем выполняется условие

     Чтобы решить задачу (1)-(3) методом конечных разностей, необходимо выполнить следующее:

     1) Заменить область непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек, то есть на отрезке [a,b] строится сетка:

      ,      (4)

где – узлы сетки ; точки и - это граничные узлы сетки , все остальные узлы называются внутренними. Величина , называется шагом сетки . Количество и расположение узлов сетки выбирается в зависимости от требуемой точности решения задачи, в частном случае сетка выбирается равномерной, т.е. , и шаг сетки в этом случае выбирается как   

     2) Заменить (аппроксимировать на сетке) дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2)-(3) разностными уравнениями. Для этого в каждом узле сетки , , определяем сеточную функцию где . Затем заменяем значения производной отношением конечных разностей и переходим от непрерывного дифференциального уравнения относительно функции (аргумент – непрерывен) к разностной задаче относительно сеточной функции где . В итоге граничная задача (1)-(3) заменяется системой алгебраических уравнений относительно сеточной функции где . Эта система алгебраических уравнений называется разностной схемой.

     3) Необходимо решить систему алгебраических уравнений относительно сеточной функции где ,  и тем самым найти таблицу значений этой сеточной функции, являющейся приближенным решением исходной краевой задачи.

     Простейшим  способом построения конечно-разностной системы алгебраических уравнений является  замена производных через значения функции в узлах сетки. Такая замена может быть получена различными способами.

     Например, известно, что из разложения функции  в ряд Тейлора на равномерной сетке могут быть получены следующие соотношения:

      ,                     (5)

- правая разностная  схема с первым порядком аппроксимации  по 

      ,                        (6)

- левая разностная  схема с первым порядком аппроксимации  по .

       ,                               (7)

- центральная  разностная схема со вторым  порядком аппроксимации по . Вторую  производную можно заменить в -том узле сетки формулой второй разностной производной : 

      ,       (8)

со вторым порядком аппроксимации по . Эти формулы приведены для равномерной сетки. В общем случае порядок аппроксимирующего выражения будет зависеть от распределения узлов сетки и гладкости функции. Будем предполагать, что , , выберем произвольный узел с номером  и воспользуемся соотношениями  (7) и (8). Запишем уравнение (1) :

     , (9)

     Приведя подобные, получим

           (10)

или

     ,                            (11)

где           

     Так как узел сетки выбирался произвольно, поэтому мы разностное уравнение распространили на все внутренние узлы сетки. Учтем, что для аппроксимации выбирались конечно-разностные соотношения второго порядка точности, то есть . Также будем предполагать, что , то есть функцию правой части аппроксимируем точно. Далее необходимо записать конечно-разностную аппроксимацию  для граничных условий (2)-(3). Воспользуемся  соотношениями (5)-(6),  получаем: