Сеточные методы в задачах аэродинамики

    

     Рисунок 3 – Определение угла атаки системы пилот-дельтаплан ( – угол между крылом дельтаплана и горизонталью, угол между скоростью и горизонталью, – угол атаки) 

     Как видно из наблюдений полетов [5,6], если пилот не будет совершать никаких быстрых маневров, таких как пикирование, угол между крылом и горизонталью в полете практически не меняется, меняется лишь угол между скоростью и горизонталью. Тогда, учитывая выражения (8) и (15), можно записать:

              (29)

     Из  рисунка 3 видно, что

           (30)

     Аэродинамические  коэффициенты и можно найти из опытов в аэродинамической трубе. Однако в настоящее время мы не располагаем этими данными для современной техники полета, поэтому в данной работе используется лишь оценка аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим дельтаплан и окружающий его воздух. Если рассмотреть воздух, как идеальный газ, состоящий из круглых упругих частичек, то согласно теории удара аэродинамическая сила будет направлена по нормали к поверхности крыла (рисунок 4). 

    

 

     Рисунок 4 – Подъемная сила и сила лобового сопротивления в потоке идеального газа ( – полная аэродинамическая сила, составляющими которой являются сила лобового сопротивления и подъемная сила). 

     Угол  между скоростью и крылом – это угол атаки . То есть коэффициент

             (31)

     Окончательно  имеем следующие выражения для коэффициентов и:

              (32)

где

              (33)

    В формуле (20) – это угол отрыва, то есть угол, под которым траектория наклонена к горизонтали в начальный момент времени. Минус поставлен потому, что ,так как пилоту удобнее разгонятся по наклонной плоскости. Под понимается предельная скорость системы в момент отрыва (в начальный момент времени).

 

     4 РАСЧЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОЛЕТА 
 

     Задача  Коши (19),(20),(32),(33) решалась методом конечно-разностных схем.

     Траекторию  при заданных уравнениях движения и  заданной геометрии плоскости отрыва определяют три «входных» параметра: начальная скорость , поддерживаемый в полете угол атаки и горизонталью и предельная скорость . После решения задачи Коши мы можем определить дальность полета, .

     Сравнение получающихся дальностей и скоростей  приземления показало, что при  заданном шаге по времени  с дальность отличается по сравнению с решением с точностью с на величину порядка м, то есть у решений с шагами 0,0010 с и 0,0001 с отличие в дальности имеет порядок нескольких миллиметров – в пределах одного сантиметра, т.е. 0,01 м. Так как точности выше 1 см нам не нужны, все дальнейшие расчеты проводились с шагом по времени 0,0010 с. Оказалось, что значения выходных параметров достаточно жестко определяют, какими могут быть входные параметры. Это обусловлено не только расстоянием  до зоны приземления, но и узостью интервалов изменения входных параметров. Вычислительный эксперимент проводился на параметрах, приблизительно сравнимых с идеальными для полетов дельтапланеристов.

     Входные параметры должны удовлетворять  следующим условиям:

     

      

     

     Решение  (19),(20),(32),(33)  методом конечно-разностных схем, примет вид:

     (34)

     Выразив i-е слагаемые в левой части (34), система (34) примет вид: 

     (35) 

     Программная реализация (35) получена в математическом пакете MATLAB и представлена в Приложение А.  
 
 
 

 

     5 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ 
 

     5.1 Изменение начальной скорости

     Решая систему (35) с начальными условиями (26) на примере полета, где в качестве начальных условий были взяты, = 2,5 м/с, =7,5 м/с, =20⁰, , H=1000 м. Ветер в рассматриваемом случаи не учитывается.

     График  решения в случаи = 2,5 м/с представлен на рисунке 5.

     

     Рисунок 5 – Траектория полета дельтапланериста при скорости вылета =2,5 м/с 

     Дальность полета при такой начальной скорости составила  L=20,673 км. 

 

     График  решения в случаи = 2,7 м/с представлен на рисунке 6. 

     

     Рисунок 6 – Траектория полета дельтапланериста при скорости вылета =2,7 м/с 

     Дальность полета при такой начальной скорости составила  L= 19,713 км.

     Проанализировав решения, сделаем несколько выводов:

     1) Дальность полета зависит не только от физических характеристик системы пилот-дельтаплан, а и от скорости в начальный момент полета;

     2) Рассматривая графики пункта 5.1, можно судить о соответствии аэродинамических качеств модели аэродинамическому качеству современных дельтапланов.

     5.2 Изменение ветра

     Рассмотрим  тот же  пример что и в пункте 5.1, учитывая ветровые характеристики и . В качестве возьмет =2,7 м/с, из результатов пункта 5.1 не целесообразно рассматривать несколько начальных скоростей, так как дальность полета напрямую зависит от них. Рассмотрим только влияние ветра, направленного в сторону сопротивления движения. Результат исследования приведен на рисунке 7.

     

     Рисунок 7 – Траектория полета дельтапланериста при скорости вылета =2,7 м/с, =0,3 м/с, =0,3 м/с 

     Дальность полета при такой начальной скорости составила L= 17,212 км.

     Сравнив полученное решение с решением из пункта 5.1.Даже небольшой ветер существенно влияет на дальность полета. 
 

 

     

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
 

     В данной курсовой работе с помощью метода конечно-разностных схем была исследована математическая модель полета дельтапланериста, учитывающая все основные факторы, влияющие на его полет. Используя эти данные можно сделать выводы, о соответствии аэродинамического качества модели нормам присущим аэродинамическому качеству современных дельтапланов.

     В качестве практической работы представлена реализация метода конечно-разностных схем, в среде математического пакета MATLAB.

 

     БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
 

     1 Краснов Н.Ф. Методы аэродинамического расчета / Н.Ф. Краснов - М.: Высш. школа, 1980. – 416 с.

     2 Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидро-динамики / А.И. Толстых - М.: Наука, 1990. – 358 с.

     3 Шевелев Ю. Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики / Ю.Д. Шевелев - М.: Наука, 1986. – 376 с.

     4 Adelson, J.- Williams, В. Hang Flight. third edition. / Adelson, J. - Williams Redlands, California, ECO- NAVTICS, 1974.

     5 Ордоди М. Дельтапланеризм/ М. Ордоди. – М.: Машинастроение, 1984. – 186 с.

     6 Козьмин В.В, Кротов И.В. Дельтапланы / В.В. Козьмин – М.: ДОСААФ, 1989. – 230 с.

 

      ПРИЛОЖЕНИЕ А

     Реализация  метода конечно-разностных схем 

% описание функций  интерфейса

function varargout = Polet(varargin)

% POLET MATLAB code for Polet.fig

%      POLET, by itself, creates a new POLET or raises the existing

%      singleton*.

%

%      H = POLET returns the handle to a new POLET or the handle to

%      the existing singleton*.

%

%      POLET('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local

%      function named CALLBACK in POLET.M with the given input arguments.

%

%      POLET('Property','Value',...) creates a new POLET or raises the

%      existing singleton*.  Starting from the left, property value pairs are

%      applied to the GUI before Polet_OpeningFcn gets called.  An

%      unrecognized property name or invalid value makes property application

%      stop.  All inputs are passed to Polet_OpeningFcn via varargin.

%

%      *See GUI Options on GUIDE's Tools menu.  Choose "GUI allows only one

%      instance to run (singleton)".

%

% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

 

% Edit the above text to modify the response to help Polet

 

% Last Modified by GUIDE v2.5 11-Dec-2011 14:49:08

 

% Begin initialization code - DO NOT EDIT

gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name',       mfilename, ...

                   'gui_Singleton',  gui_Singleton, ...

                   'gui_OpeningFcn', @Polet_OpeningFcn, ...

                   'gui_OutputFcn',  @Polet_OutputFcn, ...

                   'gui_LayoutFcn',  [] , ...

                   'gui_Callback',   []);

if nargin && ischar(varargin{1})

    gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});

end

 

     Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ А

     Реализация  метода конечно-разностных схем 

if nargout    

[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

else

    gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

end

% End initialization code - DO NOT EDIT

 

 

% --- Executes just before Polet is made visible.

function Polet_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)

% This function has no output args, see OutputFcn.

% hObject    handle to figure

% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)

% varargin   command line arguments to Polet (see VARARGIN)

 

% Choose default command line output for Polet

handles.output = hObject;

 

% Update handles structure

guidata(hObject, handles);