СМО с ограниченным временем ожидания. Замкнутые СМО

 

Для нахождения всех вероятностей состояний  как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений приведем здесь без доказательств. Но прежде, чем его приводить, объясним понятие финальной вероятности состояния.

Что будет  происходить с вероятностями  состояний при  ? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний.

 

 

где - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

 

 

Финальная вероятность состояния  – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S₁, S₂ и S₃. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S₁, 3/10 – в состоянии S₂ и 5/10 – в состоянии S₃.

Правило составления системы уравнений  Колмогорова: в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в -е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для нашего примера:

 

.

 

Эту систему  четырех уравнений с четырьмя неизвестными , казалось бы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием: и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).

Продолжение примера. Пусть значения интенсивностей потоков равны: .

Четвертое уравнение  отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное  условие:

 

.

 

.

Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S₀ (оба станка исправны), 20% - в состоянии S₁ (первый станок ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S₂ (второй станок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S₃ (оба станка ремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.

Пусть система S в состоянии S₀ (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S₁ – доход 3 условные единицы, в состоянии S₂ – доход 5 условных единиц, в состоянии S₃ – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен: условных единиц.

Станок 1 ремонтируется  долю времени, равную: . Станок 2 ремонтируется долю времени, равную: . Возникает задача оптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам обойдется в определенную сумму. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

 

1.5 Задачи теории массового обслуживания

 

Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и  другие технологические системы, системы  управления гибких производственных систем и т.д.

Каждая СМО состоит из какого–то  количества обслуживающих единиц, которые  называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.).

Всякая СМО  предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Обслуживание  заявки продолжается какое–то, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и готов  к приему следующей заявки. Случайный  характер потока заявок и времени  обслуживания приводит к тому, что  в какие–то периоды времени на входе СМО скапливается излишне  большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с  недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО – случайный процесс с  дискретными состояниями и непрерывным  временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления  каких-то событий (прихода новой  заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело  ждать, покидает очередь).

Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.

Математический  анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы Марковский, т.е. потоки событий, переводящие систему  из состояния в состояние –  простейшие. Иначе математическое описание процесса очень усложняется и  его редко удается довести  до конкретных аналитических зависимостей. На практике не Марковские процессы с  приближением приводятся к Марковским. Приведенный далее математический аппарат описывает Марковские процессы.

 

1.6 Классификация систем массового обслуживания

 

Первое деление (по наличию очередей):

1. СМО с отказами;
2. СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.

Кроме этого  СМО делятся на открытые СМО и  замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными разновидностями, но этого достаточно.

 

 

 

2. Системы массового обслуживания с ожиданием

 

2.1 Одноканальная СМО с ожиданием

 

Рассмотрим  простейшую СМО с ожиданием —  одноканальную систему (n - 1), в которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим  сначала, что количество мест в очереди  ограничено числом m, т.е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже  стоят m-заявок, она покидает систему  не обслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений  длины очереди.

Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):

 — канал свободен;

 — канал занят, очереди  нет;

 — канал занят, одна заявка  стоит в очереди;

 — канал занят, k-1 заявок стоят  в очереди;

 — канал занят, т-заявок  стоят в очереди.

ГСП показан  на рис. 4. Все интенсивности потоков  событий, переводящих в систему  по стрелкам слева направо, равны  , а справа налево — . Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево — поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).

Рис. 4. Одноканальная  СМО с ожиданием

 

Изображенная  на рис. 4 схема представляет собой  схему размножения и гибели. Напишем  выражения для предельных вероятностей состояний:

 

 (5)

 

или с  использованием: :

 

 (6)

 

Последняя строка в (6) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р, откуда получаем:

 

 (7)

 

в связи  с чем предельные вероятности  принимают вид:

(8).

 

Выражение (7) справедливо только при  < 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:

 

.

 

Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой , среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО .

Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ  только в случае, когда канал занят  и все т-мест в очереди тоже:

 

 (9).

 

Относительная пропускная способность:

 

 (10).

Абсолютная  пропускная способность:

 

.

 

Средняя длина очереди. Найдем среднее число  -заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R—числа заявок, находящихся в очереди:

 

.

 

С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью — две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят k-1 заявок, и т.д., откуда:

 

 (11).

 

Поскольку , сумму в (11) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:

 

.

 

Подставляя  данное выражение в (11) и используя  из (8), окончательно получаем:

 

(12).

Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для  среднего числа  -заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку , где — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью 1 - ), откуда:

 

.

 

и среднее  число заявок, связанных с СМО, равно:

 

(13).

 

Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его  ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т.д.

Если  же k=m+1, т.е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m-заявок в очереди (вероятность  этого  ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

 

,

 

если  подставить сюда выражения для вероятностей (8), получим:

 

(14).

 

Здесь использованы соотношения (11), (12) (производная геометрической прогрессии), а также  из (8). Сравнивая это выражение с (12), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

 

 (15).

 

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим  - матожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100%, очевидно, , в противном же случае:

 

.

 

Отсюда:

 

.

Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом  обслуживания (одной колонкой).