Становление и развитие математического моделирования

В задаче математического  моделирования «кроме объекта моделирования и модели, обязательно присутствует субъект моделирования, лицо, усилиями и в интересах которого осуществляется модель». Роль субъекта моделирования оказывается решающей, ибо именно его цели, интересы и предпочтения формируют модель. 

Создание модели нужно  не само по себе, а для решения  практических задач, что только и  может оправдать затрату сил  на создание модели. Модель создается для того, чтобы работать: «Только полная реализация модели с ее "прогоном" через расчеты полностью окупает затраты на моделирование».

Например, проведение экспериментальных  исследований на крупных высокотемпературных  агрегатах связано с большими организационными и техническими трудностями. Поэтому возникает необходимость  в разработке математических моделей, значительно сокращающих объём  трудоёмких и дорогостоящих промышленных экспериментов, на долю которых остаётся лишь сбор исходной информации для  расчёта, проверка адекватности математических моделей и внедрение результатов  моделирования. Для формулировки граничных  условий необходим детальный  расчёт внешнего теплообмена. Одним  из наиболее распространённых методов  расчёта внешнего теплообмена является зональный метод, рассматривающий  перенос тепла излучением, конвекцией и турбулентной теплопроводностью, т.е. учитывающий неравномерность  распределения температур, скоростей  и концентраций в рабочем пространстве топки.

2. История применения математических методов в экономике.

Применение математических методов, в том числе и методов  математического моделирования, в  экономике в целом имеет длительную историю. В качестве примера приведем характеристику математического метода исследования основателем классической школы буржуазной политической экономии В. Петти (1623 – 1687). В предисловии  к «Политической арифметике»  В. Петти указывал, что его способ исследования «не обычный, ибо вместо того, чтобы употреблять слова  только в сравнительной и превосходной степени и прибегать к умозрительным  аргументам, я вступил на путь выражения  своих мнений на языке чисел, весов  и мер, что я уже давно стремился  пойти по этому пути, чтобы показать пример политической арифметики».

Революционный демократ, крупнейший экономист домарксовского периода  Н. Г. Чернышевский (1828 – 1889) в замечаниях на трактат Д, С. Миля «Основания политической экономии» писал: «Мы видели уже  много примеров тому, какими приемами пользуется политическая экономия для  решения своих задач. Эти приемы математические. Иначе и быть не может, потому что предмет науки  – количества, подлежащие счету  и мере, понимаемые только через  вычисление и измерение».

3. История развития экономико-математического моделирования в США

Для характеристики математического  направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые  результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии.

Как в теоретическом, так  и в прикладном отношении представляют интерес работы по построению и использованию  производственных функций для анализа  сельскохозяйственного производства в США. В 1909 году Митчерлих предложил  нелинейную производственную функцию ( ПФ ): удобрения – урожайность. Независимо от него, Спиллман предложил показательное  уравнение урожайности. На их основе был построен ряд других агротехнических ПФ.

Опыт использования ПФ в сельском хозяйстве показал, что  максимизация натуральных показателей  продуктивности не совпадает, как правило, с максимизацией и минимизацией экономических показателей (прибыли, себестоимости), т. е. натурально-вещественный оптимум и экономический по своему существу разные понятия.

В 1928 г. Ч. Кобб и П. Дуглас на основе данных по обрабатывающей промышленности США за период 1899 – 1922 гг. представили  функцию P = bL^a K^1-a. Это была первая эмпирическая ПФ, построенная по данным временных рядов. Ее конкретный вид: P = 1.01L^0.75K^0.25, где Р – расчетный индекс производства,

К – индекс основного капитала,

L – индекс занятости.

В настоящее время формула  Кобба – Дугласа широко используется в учебной и научной литературе.

В 1928 г. В. Рамсей предложил  упрощенную модель, в которой дается не только описание долгосрочного роста, но и ставится проблема определения  его оптимального варианта. Модель интересна тем, что по существу она  явилась предвестницей современного подхода к проблемам оптимального роста.

В 1932 г. Джон фон Нейман изложил  основы многосекторной модели расширяющейся  экономики, в которой ввел понятие  динамического равновесия. С моделью Неймана связаны знаменитые теоремы о магистрали. Модель построена в предположении совершенной конкуренции, в рамках основных положений неоклассического направления.

В 30-х же годах значительное внимание экономистами – математиками было уделено проблеме существования  решения системы уравнений общего равновесия. Для доказательства существования  экономически содержательного решения  использовался упрощенный вариант  модели Вальраса. Исходными предпосылками  такой модели были следующие: ресурсы  заданы и используются при постоянных технологических коэффициентах, но когда ресурсы заданы в фиксированных  количествах, естественно, что они, как правило, не будут соответствовать  структуре производства необходимой  продукции, и, следовательно, не будут  использоваться полностью. Венгерский математик А. Вальд в 1935 - 1937 гг. выяснил  ограничивающие условия, при которых  модель дает экономически содержательное решение без отрицательных значений искомых переменных (выпуск продукции, цены, в том числе заработная плата), и показал, какие блага являются «редкими», какие «избыточными», «общедоступными». Такими условиями являются преобразования некоторых уравнений в неравенстве  и предположение, что некоторые (избыточные) факторы производства будут недоиспользованы и должны получить нулевую оценку, некоторые способы производства не используются, так как издержки производства превышают цену производимого  продукта. Нетрудно видеть, что уже  здесь присутствуют предпосылки  линейного программирования.

В 1931 г. было создано международное  эконометрическое общество, видным представителем и активным деятелем которого был  норвежский ученый Р. Фриш (1895 – 1973). Термин «эконометрика» Фриш ввел для обозначения  направления, которое должно было представлять синтез экономической теории, математики и статистики. В дальнейшем круг проблем, разрабатываемых в рамках данного направления, сузился, и  сегодня в понятие «эконометрика» включается главным образом построение математико-статистических моделей  экономических процессов (так называемых эконометрических моделей), использование  методов математической статистики для определения параметров этих моделей.

В 1936 г. опубликована работа Д. М. Кейнса «Общая теория занятости, процента и денег», которая явилась реакцией на кризис 1929 – 1933 гг. Острие своей критики  Кейнс направил против основ классической и неоклассической теорий равновесия, на первое место он поставил проблему рынка и реализации общественного  продукта. В модельном отношении  важное значение имеет мультипликатор, введенный Кейнсом, который послужил основой ряда макроэкономических моделей.

В качестве кейнсианских (или  неокейнсианских) моделей можно  назвать модели экономического роста  Е. Домара и Р. Харрода.

Стремление примирить  теорию Кейнса с неоклассической  теорией породило так называемый неоклассический синтез, сущность которого сводится к утверждению, что в  зависимости от состояния экономики  можно применять либо кейнсианскую теорию равновесия, либо неоклассическую. Теория Кейнса действует в условиях неполной занятости, по достижении полной занятости возобновляется действие неоклассической теории.

Значительную роль в разработке моделей роста сыграл Р. Солоу. В  статье, опубликованной в 1956 году, он предложил  простую модель, которая привела  к появлению многочисленных исследований в области неоклассических моделей  роста. В качестве основного аналитического инструмента в них используется аппарат производственной функции, и детальная разработка макроэкономических производственных функций неразрывно связана с развитием неоклассических  моделей.

Большое значение в истории  развития экономико-математического  моделирования имеет метод, получивший название «Метод Гомори». Основная идея метода отсекающих плоскостей состоит в том, что на каждом шаге рассматривается задача с ослабленными ограничениями без требования целочисленности,  для которой по специальному алгоритму строится некоторое дополнительное ограничение, отсекающее только некоторые нецелочисленные точки. Если полученный в результате оптимальный план содержит только целые компоненты, то автоматически получается соответствие  решению ЗЦЛП.

 

4. История развития экономико-математического моделирования в СССР.

Важное место в развитии математического направления в  экономике занимают работы советских  ученых: Л. В. Канторовича, В. В. Новожилова, В. С. Немчинова, В. Леонтьева.

В 1936 г. В. Леонтьев опубликовал  основы метода (модели) «затраты – выпуск». В. Леонтьеву хорошо были известны работы советских экономистов по балансу  народного хозяйства за 1923-1924 гг., в основу которого были положены идеи схем воспроизводства К. Маркса. В  качестве исходного момента В. Леонтьев использовал модель общего экономического равновесия Л. Вальраса, прежде всего  идею технических коэффициентов. Формирование цен в рамках модели трактуется с  позиций неоклассической теории стоимости. Система цен в модели при ограничении только на один первичный фактор – труд – обеспечивает нулевую прибыль, прибавочная стоимость отсутствует, весь национальный доход реализуется только на заработную плату. При наличии ограничений и на основной капитал в структуре цены появляется норма процента. Трактовка модели и ее категорий ведется с позиции неоклассической теории производительности факторов производства при отсутствии взаимозаменяемости между ними.

Работа Л. В. Канторовича  «Математические методы организации  и планирования производства» (Ленинград, 1939г.) положила начало новому направлению  в математической экономии – методам  линейного программирования, метода математического программирования. Канторович в результате анализа  некоторых задач планирования производства сформулировал новый важный для  экономики класс математических задач, получивших название задач линейного  программирования. В линейном программировании рассматривается вопрос о поиске среди всех допустимых решений, удовлетворяющих  системе линейных равенств или неравенств, наилучшего (оптимального) решения, доставляющего  максимум (минимум) некоторому линейному  критерию. Его работа «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» вышла двумя изданиями в 1959 г. и 1960 г. и была переведена на французский, английский, испанский и другие языки.

Работы В. В. Новожилова, в  частности «Проблемы измерения  затрат и результатов при оптимальном  планировании», обосновали решающую роль ценообразования, механизма распределения  капиталовложений, согласования народнохозяйственных и хозрасчетных интересов для  оптимизации всего общественного  производства.

Работа В. С. Немчинова  «Экономико-математический методы и  модели» (1962) имела важное научное, учебное  и методологическое значение для  развития экономико-математических исследований в нашей стране.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2: Пример решения задачи методом Гомори.

Для решения ЦЛП  может  быть применён метод Гомори. Метод  Гомори содержит 2 этапа:

Этап 1. Решение исходной задачи обычным симплех-методом  и проверка решений на целочисленность. Если решение содержит хотя бы одно дробное значение, то переходят к этапу 2, в противном случае расчёт заканчивается.

Этап 2. Составление дополнительного  ограничения (сечения) и решение  расширенной задачи обычным симплех-методом. Дополнительное ограничение (сечение) отсекается нецелочисленные решения.

Сечение обладает следующими двумя свойствами:

1. Любое целочисленное решение ему удовлетворяет;
2. Любое нецелочисленное решение задачи ему не удовлетворяет;

Объясним, как составляется сечение:

Пусть выполнен этап 1;

X={x₁ = b₁, x ₂= b₂,…,x_i = b_i,…,x_m = b_m, x_m+1 = 0,…,x_n = 0}

b_i – дробное число.

Рассмотрим i-е ограничение:

                     b_i = x_i + a_mi+1x_m+1 + a_mi+2x_m+2+…+a_inx_n.

 

Так как b_i    - дробное число,  а в дробной части все переменные целые, то хотя бы одно значение a_ij, j = m+1, n должно быть дробным.

Возьмём дробную часть  о левой и правой частей огрничения.

Обозначим через {r} дробную часть числа r.

Дробная часть суммы не превосходит суммы дробных частей слагаемых, поэтому

             {x_i + a_mi+1x_m+1 + a_mi+2x_m+2+…+a_inx_n}<= {x_i}+{a_mi+1x_m+1} + {a_mi+2x_m+2}+…+{a_inx_n}.

Дробная часть произведения не превосходит произведения целого на дробную часть, следовательно:

 {x}_i +{ a_mi+1x_m+1} + {a_mi+2x_m+2}+…+{a_inx_n} <= x_m+1 { a_mi+1 }+ x_m+2{ a_mi+2 }+…+ x_n{a_in}

В результате имеем:

{b_i} <= x_m+1{a_im+1}+ x_m+2{a_im+2}+…+x_n{a_in}.

Обозначим:       {a_ij} = q_ij,

                           {b_i} = q_i,

Тогда из последнего неравенства  получаем

                 q_mi+1x_m+1 + q_mi+2x_m+2+…+q_inx_n >=q_i

Отняв от левой части неравенства  дополнительную неотрицательную переменную, переходим к уравнению: