Это равенство и используется для  вычисления логарифмов от натуральных чисел. Например, полагая х = 1/3, получаем

       

                      (6)

       где ряд справа сходится даже быстрее  геометрической прогрессии.

       Для вычисления ln2 с точностью до 10^-5  достаточно взять пять слагаемых ряда (6):

       ln2 ≈ 0,693146

(каждое  слагаемое ряда вычисляем с шестью знаками после запятой).

       Вообще, полагая

       

       m – натуральное число, получим

       

       

    (7)

       Полагая последовательно т=2, 3, .... найдем ln 3, ln 4. Ряд справа в (7) сходится очень быстро.

       Вычисление  корней. Ряд Тейлора для функции f(х) = (1 + x)^α выглядит следующим образом.

       

       (8)

       Ряд (8) называют биномиальным. Известно, что ряд (8) при х = ±1 не всегда сходится, а если сходится, то медленно.

       Поэтому, если, например, надо вычислить , то не рационально воспользоваться формулой (8) при х=1, α = 1/2. Но вот как можно поступить. Обычно преобразуют подкоренное выражение так, чтобы оно мало отличалось от единицы:

       

или 

        (9)

       Нахождение  чисел 25 и 49 можно производить так: выписываем квадраты натуральных чисел

       1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...,              (10)

затем выписываем ряд чисел, получаемых из (10) умножением на подкоренное выражение, в данном случае на два:

       2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128,....            (11)

       В строках (10) и (11) ищем числа таким образом, чтобы их отношение было близким к единице. Среди выписанных чисел это и будут числа 49 и 50=2·25.

       Если  эти строки продолжить, то можно  найти еще близкие числа 289 и 288, т. е.

       

   (12)

       Теперь  уже можно использовать ряд (8). Например, в силу (12), при х=1/288 получаем

       

    (13)

       Ряд справа в (13) сходится очень быстро. Кроме того, он знакочередующийся, т. е. остаток ряда меньше модуля первого члена этого остатка.

       Запишем ряд (13) в развернутом виде:

         (14)

       Третий  член ряда (14) меньше 8·10^-6<10^-5, поэтому

       

с точными  четырьмя знаками.

       Отметим, что вычисление , исходя из (9), очень удобно, так как в знаменателе мы сразу получаем степени 10. Если взять три первых слагаемых этого ряда, то ≈ 1,41421.

       Пример 1. Вычислить с точностью до 0,01. Выпишем кубы натуральных чисел

       1, 8, 27, 64,125, 216, …,

       и ряд этих чисел, умноженных на 5,

       5, 40,135, 320, 625, 1080,…,

       Отсюда

третий  член ряда

поэтому

       

с точностью  до 0,01[4]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

 

       Решения сложных математических задач редко  удается представить в точном виде посредством формул. Однако в  большинстве случаев эти решения можно записать в виде рядов. После того, как такое решение найдено, методы теории рядов позволяют оценить, сколько членов ряда необходимо взять для конкретных вычислений или как записать ответ в наиболее удобном виде. Наряду с числовыми рядами мы можем рассматривать так называемые функциональные ряды, слагаемыми которых являются функции. Многие функции можно представить с помощью функциональных рядов. Изучение числовых и функциональных рядов является важной частью математического анализа[5]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

 
 

1. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов – 4-е изд. стер.: - М.: Высшая школа, 1998 – 479 с.
2. Кудрявцев. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3т – М.: Дрофа, 2004г.
3. Никольский С.М. Курс математического анализа. Учебник для вузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 592.
4. Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3т./Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Дрофа, 2004 – 512с.
5. Маркушевич А.И. Ряды. Элементарный очерк. М., 1957