Теорії ймовірностей та математичної статистики

М(Х) = n * p   Отже, маємо теж саме значення:

М(Х) = 5 * 0,7 = 3,5

   За означенням  дисперсія випадкової величини  обчислюється як математичне  сподівання квадрата відхилення  випадкової величини від свого  математичного сподівання. За означенням  маємо:

            ₆

D(Х) = ∑ (х_і – М(Х))² * р_і = (0 – 3,5)² * 0,00243 + (1 – 3,5)² *0,02835 + (2 – 3,5)² * 

           ^{і = 1}

*0,1323 + (3 – 3,5)² * 0,3087 + (4 -3,5)² * 0,36015 + (5 – 3,5)² * 0,16807 = 1,05

     Дисперсію  можна також обчислити за перетвореною  формулою, яка є рівносильною  вихідній:

D(Х) = М(Х²) – (М(Х))² = 0² * 0,0243 + 1² * 0,02835 + 2² * 0,1323 + 3² *0,3087 +    + 4² * 0,36015 + 5² * 0,16807 = 0,02835 + 0,5292 + 2,7783 + 5,7624 + 4,20175 =   = 13,3 – (3,5)² = 1,05

   Той самий  результат ми отримаємо, якщо  скористаємося формулою обчислення  дисперсії для випадкової величини, що розподілена за біноміальним  законом:  

D(Х) = n*p*q = 5 * 0,7 * 0,3 = 1,05

    Середнє  квадратичне відхилення випадкової  величини обчислюємо за означенням, як корінь квадратний з дисперсії.  Отже маємо:

 

Відповідь: М(Х) = 3,5;  D(X) = 1,05; = 1,0247

Завдання 3.8: Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу F(x). Визначити: а) основні числові характеристики розподілу; б) імовірність того, що випадкова величина Х матиме значення, що належить інтервалу (α; β); в) побудувати графік функції F(x) та ƒ(x).

     α = - 0,5;        β = 0,5.

Розв’язання:

         Неперервна випадкова величина  Х задана інтегральною функцією розподілу F(x) . Для того щоб визначити основні числові характеристики випадкової величини, необхідно знайти щільність розподілу ймовірностей, тобто диференціальну функцію розподілу f(x) , яка є похідною першого порядку від інтегральної функції F(x). Отже, . Маємо:     

     

     Визначимо  основні числові характеристики  розподілу. Математичне сподівання  неперервної випадкової величини  обчислюється за формулою:

                  _∞

M(x)= ∫ x * ƒ(x) * d x

                ^-∞

Звідси:

   Дисперсію випадкової неперервної величини знаходимо, скориставшись перетвореною формулою для обчислення дисперсії:

                 _∞

D(x) = ∫ x² * ƒ(x) d x – (M(x))²

               ^-∞

Звідси:      Знаходимо середнє квадратичне відхилення: 

      Імовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке належатиме заданому інтервалу, знаходимо як приріст інтегральної функції розподілу на цьому інтервалі:

   Звідси:

 

Відповідь:  М(Х)= 0,623,  D(Х)=0,596, =0,772, Р(-0,5<x<0,5)= 0,33.

          Завдання 4: За згрупованими даними статистичного розподілу не- обхідно: а) побудувати гістограму відносних частот; б) обчислити вибіркову середню х, виправлену дисперсію S_x² та виправлене середнє квадратичне відхилення S_x; в) у припущенні нормального закону розподілу в генеральній сукупності визначити межі довірчого інтервалу, до якого математичне сподівання випадкової величини належатиме з надійністю  y = 95%.

4.8.  
 
 

         Розв’язання:

   Попередній аналіз вихідних даних показав, що результати вимірювань випадкової величини Х були згруповані за інтервалами рівної довжини:

14,5 – 10=4,5     h = 4,5   Для кожного інтервалу наведені середнє значення випадкової величини за цим інтервалом (середина інтервалу) та частота , з якою значення випадкової величини попадають до певного інтервалу.  Оскільки необхідно побудувати гістограму відносних частот, то обчислимо їх значення за формулою:

 _,

де  n – обсяг вибіркової сукупності,                                             

           – загальна кількість інтервалів;

                                                                                                                __ 

         – номер інтервалу (для даної вибіркової сукупності =  5,5).

1 + 4,5=5,5.

      Обсяг вибірки становить: n = 7 + 15 + 20 + 32 + 35 + 22 + 14 + 8 = 153

 0,04580 І 0,0980 | 0,1307 | 0,2091 | 0,2288 | 0,1438 | 0,0915 | 0,0523

Загальна  площа всіх прямокутників = 1. 

     Знайдемо  межі частинних інтервалів. Нижню  межу 1-го інтервалу визначаємо, віднявши  від значення  величину 0,5 * h = 0,5*4,5=2,25,

тобто, вона становить:  10-2,25=7,75. Відповідні значення верхніх меж інтервалів отримаємо, додавши до отриманого значення розмір кроку.

x₁ = 10 – 2,25 = 7,75 | 12,25 | 16,75 | 21,25 | 25,75 | 30,75 | 34,75 | 39,25

      За означенням гістограмою відносних частот називають сукупність прямокутників, основою кожного з яких є певний частинний інтервал (усі основи прямокутників визначаються довжиною крока), а площа кожного прямокутника дорівнює відносній частоті, що відповідає цьому інтервалу.  Це випливає з умови нормування, оскільки загальна площа всіх прямокутників для гістограми відносних частот дорівнює одиниці. Згідно з цим висота прямокутників на гістограмі обчислюється як відношення , котре означається як щільність відносних частот. Оскільки всі частинні інтервали мають однакову довжину h=4,5, то для даного приклада отримуємо співвідношення, за яким обчислюємо щільність відносних частот:   

 

         0,0102| 0,0218| 0,0290| 0,0465| 0,0508| 0,0320| 0,0203| 0,0116

   

      Для побудови гістограми вздовж осі абсцис відкладаємо межі інтервалів і на кожному з частинних інтервалів як основі будуємо прямокутники, висота яких дорівнює щільності відносних частот, що відповідає певному інтервалу. Готова гістограма наведена на рис. 4    

Рис.4   Гістограма відносних  частот

                Вигляд гістограми припускає можливість того, що закон розподілу в генеральній сукупності є нормальним. За вибірковою сукупністю визначимо статистичні оцінки основних числових характеристик розподілу.

           Статистичною оцінкою математичного  сподівання випадкової величини  є її вибіркова середня:    

де  у випадку згрупованих даних має сенс середини - го інтервалу.

+  

          Слід зазначити, що вибіркова середня є незсунутою оцінкою математичного сподівання.

       При обчисленні вибіркової дисперсії  як статистичної оцінки дисперсії  випадкової величини в генеральній  сукупності необхідно ввести  поправку на зсув. Отже, для визначення  незсунутої вибіркової дисперсії  користуються формулою: 

 

     де - виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення. 

 

   

  ^{Обчислення вибіркових  оцінок зручно  проводити, надавши  проміжні обчислення  у вигляді таблиці  (Табл.2).} 

^{Таблиця 2}

     ^{Отже сума за  передостаннім стовпцем  табл.2 є вибірковою  середньою.  Відповідно  маємо:  = 25,9121. Сума за останнім стовпцем  табл. 2 використовується при визначенні виправленої вибіркової дисперсії:}

     ^{Звідси визначаємо  виправлене середнє  квадратичне відхилення:}

                      ^{S_x = √ S_x2 = √ 63,3758 = 7,9609}

     ^{У припущенні нормального  закону розподілу  в генеральній  сукупності визначимо  межі довірчого  інтервалу, до  якого з надійністю  у=95%, належатиме математичне сподівання випадкової величини.}

    ^{Межі довірчого  інтервалу обчислюються  співвідношенням:}

   ^,

   ^{де      – аргумент функції Лапласа, подвоєне значення якої дорівнює заздалегідь заданій надійності:  .}

         ^{Визначаємо, що .  За довідковою таблицею знаходимо, що =1,96. Оскільки n=153, а = 7,9609, то похибка оцінки математичного сподівання за вибірковою середньою не перевищує значення . Отже можна стверджувати, що з імовірністю 0,95 математичного сподівання випадкової величини Х належатиме інтервалу}

Тобто з надійністю 95% можна вважати, що  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ^{Завдання 5.8: Наведені результати дослідження співвідношення обсягу продукції Y (тис. т) від вартості основних фондів X (млн. грн.). Статистичні дані згруповані за інтервалами, на які поділені значення випадкових величин Х та Y , та надані у вигляді таблиці, де вказані середні за кожним інтервалом, а також кількість підприємств, характеристики яких відносяться до певного інтервалу. Необхідно: а) на кореляційному полі побудувати емпіричну лінію регресії Y та X; б) оцінити параметри вибіркового рівняння регресії  X та Y; б) оцінити параметри вибіркового рівняння регресії      у припущенні лінійної кореляції; в) за вибірковим рівнянням регресії побудувати графік та порівняти його з емпіричною лінією регресії; г) оцінити щільність кореляційного зв’язку.}

^{Розв’язання: Статистичні дані згруповані за частинними інтервалами довжиною    та .  Для кожного інтервалу вказані середні значення випадкових величин Y та Х . Це відповідне значення та . Також наведені частоти , з якими значення випадкових величин попали до певних інтервалів.}

           ^{Для побудови емпіричної  лінії регресії  Y та Х обчислимо умовні середні функціонального фактора за формулою:}