Теорії ймовірностей та математичної статистики

^{де  - номер рядка кореляційної таблиці ;}

     ^{- номер стовпця кореляційної таблиці ;}

      ^{- число рядків кореляційної таблиці ;}

       ^{- число стовпців кореляційної таблиці.}

^{Сумуємо стовпці та строки в таблиці:}

    ^{Обчислюємо умовні  середні:} 

                                       

                   

      

                                                              

       ^{Для побудови кореляційного  поля на осі  абсцис відкладаємо  інтервали, що  відповідають інтервалам  кореляційної таблиці  за випадковою  величиною Х, а вздовж осі ординат – інтервали, що відповідають випадковій величині Y. У кожній клітині, що утворилася, ставимо таку кількість точок, яка дорівнює частоті влучень до відповідної клітини кореляційної таблиці (рис. 5) Сукупність цих точок утворює хмару розпорошення , форма якої відображає наявність кореляційного зв’язку між випадковими величинами Y та X.}

      ^{На кореляційному  полі наносимо  точки, ординатами  яких є отримані  значення умовних  середніх, а абсцисами  – значення  , котрим вони відповідають. Ламана лінія, що з’єднує ці точки, представляє собою емпіричну лінію регресії Y на X (рис.5). За виглядом хмари розпорошення й розташуванням емпіричної лінії регресії можна припустити наявність лінійного кореляційного зв’язку між випадковими величинами. Відповідно до цієї моделі проведемо визначення статистичних оцінок параметрів рівняння регресії.}                                                            

^{Рис. 5 Емпірична лінія  регресії}

       ^{Відповідно обраної  моделі вибіркове  рівняння регресії  має вигляд:}

^{де  - статистична оцінка коефіцієнта регресії генеральної сукупності;}

       ^{- статистична оцінка вільного члена рівняння регресії.}

    ^{Нагадаємо, що  позначка  над будь-якою величиною означає, що ця величина є статистичною оцінкою відповідної характеристики генеральної сукупності.}

    ^{Для визначення  статистичних оцінок  параметрів рівняння  регресії скористаємося  наступним співвідношенням:}

                                       

^{де  - статистична оцінка коефіцієнта кореляції генеральної сукупності.}

^{вона  обчислюється за співвідношенням:}

^{де    - оцінка кореляція (коефіцієнта сукупної мінливості) випадкових величин Х та Y.}

        ^{Усі необхідні  розрахунки при  визначенні статистичних  оцінок будемо  проводити в таблиці,  що побудована  на базі кореляційної (Табл. 3)}

^{Таблиця 3}

     ^{Для  обчислення середнього  добутку  у правому верхньому куті кожної клітини таблиці записуємо добуток . До клітин, які виділені кольором, визначаємо суми за рядком або, відповідно, за стовпцем.}

     ^{Далі обчислюємо  основні числові  характеристики емпіричного  розподілу двовимірної   випадкової величини:}

                      

                  

       

      

    Коефіцієнт детермінації ,  який у випадку лінійного кореляційного зв’язку визначається як  , для даного прикладу становить

Це означає, що в межах даної моделі мінливість функціонального фактора на 42,81% обумовлюється мінливістю фактор-аргумента.

      Визначаємо статистичні оцінки  рівняння регресії:

;      .

      Тобто відповідно до прийнятої моделі рівняння регресії має вигляд:

.

      Лінію регресії за отриманим вибірковим рівнянням побудуємо за двома довільними точками, координати яких визначаємо за цим рівнянням. Наприклад:

                                  

    Нанесемо ці точки на кореляційне поле й, з’єднавши їх прямою лінією, отримаємо теоретичну лінію регресії  Y та X (Рис. 6)

Рис. 6 Теоретична та емпірична  лінії регресії.

      Перевіримо адекватність моделі  за критерієм Фішера:

     Згідно  з основною статистичною гіпотезою , яка підлягає перевірці,    Альтернативна гіпотеза припускає, що

      Обчислюємо емпіричне значення  критерію Фішера:

      За таблицею визначаємо значення  критичної точки розподілу Фішера  для кількості ступенів вільності  більшої з дисперсій  , та меншої з дисперсій . Так для рівняння значущості маємо:

.  Оскільки  , то гіпотезу необхідно відкинути. Отже, кореляційна модель адекватна, і зв’язок між факторами Y та X слід вважати суттєвим.