Условия реализации совокупного общественного продукта при простом и расширенном воспроизводстве

 

Технология построения уравнения регрессии аналогична алгоритму, изложенному в п.п.1.1. Протокол построения уравнения регрессии показан на рисунке 7.

 

Рисунок 7 - Протокол решения  задачи

 

Из рисунка 7 видно, что  эмпирические коэффициенты регрессии  соответственно равны:

b0 = 0,845

b1 = 0,015

b2 = 0,066.

Тогда уравнение множественной  линейной регрессии, связывающее величину чистого дохода у с оборотом капитала х1 и использованным капиталом х2 имеет вид:

=0,845+0,015 х1+0,066 х2.                                                                     (5)

 

На следующем этапе, в соответствии с заданием необходимо выполнить количественную оценку влияния объясняющих переменных х1 и х1 на результативную переменную у, используя коэффициенты эластичности. Коэффициенты эластичности для модели множественной линейной регрессии определяется в виде:

                                                                                            (6)

Тогда:

Следовательно, при изменении оборота  капитала на 1%, величина чистого дохода копании изменяется на 0,177%.

При изменении использованного  капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,53%.

На третьем этапе исследования необходимо оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t - критерия и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F - критерия.

Технология оценки статистической значимости коэффициентов регрессии также основывается на проверке нулевой гипотезы о не значимости коэффициентов регрессии. При этом проверяется выполнение условия:

если tт > tкрит, то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент регрессии принимается значимым. Из рисунка 7 видно, что tт для первого коэффициента регрессии равен 1,3, а для второго 4,5. Критическое значение tкрит при уровне значимости = 0,05 определяем с использованием статистической функции СТЬЮДРАСПОБР( ) рисунок 8. Входными параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) и число степеней свободы. Для рассматриваемого примера число степеней свободы соответственно равно n-3 (так как, для двухфакторной модели множественной регрессии, оценивается три параметра b0 ,b1 b2). Тогда число степеней свободы равно 10-3=7.

 

Рисунок 8 - Окно статистической функции СТЬЮДРАСПОБР

 

Из рисунка 8 видно, что  критическое значение tкрит =2,36. Так как tт < tкрит для первого коэффициента регрессии (1,3 < 2,36), то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная x1 является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии tт > tкрит (4,5 > 2,36) и объясняющая переменная x2 является статистически значимой.

Проверка значимости уравнения множественной регрессии  в целом с использованием F - критерия аналогична проверке уравнения парной регрессии.

Из рисунка 7 следует, что Fт=12,6. Критическое значение F – критерия Fкрит, определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР( ). Для модели множественной регрессии с двумя переменными число степеней свободы соответственно равно 2 (две объясняющие переменные x1 и х2) и n-k-1(где к=2 - число объясняющих переменных). И второе число степеней свободы равно 10-3=7. Критическое значение Fкрит=4,74. Следовательно:

Fт > Fкрит (15,23 > 4,74), и уравнение регрессии в целом является значимым.

На последнем этапе  исследования необходимо оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации по зависимости (4). С этой целью представим таблицу 3 в виде вспомогательной таблицы 4.

Тогда средняя ошибка аппроксимации составит:

Значительная ошибка аппроксимации превышает 15%, что свидетельствует о не достоверности и не адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

Таблица 4 - Расчет средней  ошибки аппроксимации

Чистый доход, мл.долл.США, у	Оборот капитала, мл.долл.США, х1	Использованный капитал, мл.долл. США, х2
6,6	6,9	83,6	6,47	0,020
3,0	18,0	6,5	1,54	0,485
6,5	107,9	50,4	5,79	0,109
2,4	31,5	12,5	2,14	0,107
3,3	36,7	14,3	2,34	0,291
1,8	13,8	6,5	1,48	0,177
2,4	64,8	22,7	3,31	0,381
1,6	30,4	15,8	2,34	0,465
1,4	12,1	9,3	1,64	0,172
0,9	31,3	18,9	2,56	1,846
				∑=4,055

 

 

1.4 Заключение

 

1. Сформирована эконометрическая  модель в виде линейного уравнения парной регрессии, связывающая величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х

=227 - 0,004х.

2. На основании анализа  численного значения коэффициента  корреляции ryx=0,013 установлено отсутствие статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Показано, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 99,98% .

3. Путем расчета коэффициент  эластичности показано, что при  изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии снизится несущественно, всего на 0,003%.

4. Рассчитана средняя  ошибка аппроксимации статистических  данных линейным уравнением парной регрессии, которая составила 3,2%, что является вполне допустимой величиной.

5. С использованием F- критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически незначимым, и не адекватно описывает изучаемое явление связи величины ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х.

6. Сформирована эконометрическая  модель множественной линейной регрессии, связывающая величину чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала x1 и использованным капиталом х2.

=0,845+0,015 х1+0,066 х2.

7. Путем расчета коэффициентов  эластичности показано, что при  изменении оборота капитала 1% величина чистого дохода копании изменяется на 0,177%, а при изменении использованного капитала на 1 % величина чистого дохода компании изменяется на 0,53%.

8. С использованием t - критерия выполнена оценка статистической значимость коэффициентов регрессии. Установлено, что объясняющая переменная x1 является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии, в тоже время объясняющая переменная х2 является статистически значимой.

9. С использованием F- критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически значимым, и адекватно описывает изучаемое явление связи величины чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала x1 и использованным капиталом x2.

10. Рассчитана средняя  ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением множественной регрессии, которая составила 40,55%. Величина данной ошибки свидетельствует о не достоверности и не адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Построение  эконометрических уравнений без  использования специализированных программных продуктов

 

2.1 Построение  модели парной регрессии

 

Используя статистический материал, приведенный в таблице 5 необходимо:

i. Рассчитать параметры  уравнения парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту  связи зависимой переменной с  объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. На основе использования  коэффициента эластичности, выполнить  количественную оценку влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4. Определить среднюю  ошибку аппроксимации.

5. Оценить с помощью  F-критерия Фишера статистическую  надежность моделирования.

Таблица 5 – Исходные данные

№ п/п	Область	Средний размер назначенных  ежемесячных пенсий, у.д.е., у	Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, у.д.е., х
1.	Брянская	240	178
2.	Рязанская	215	199
3.	Смоленская	220	180
4.	Тверская	222	181
5.	Тульская	231	186
6.	Ярославская	229	250
	ИТОГО:	1357	1174

 

Для определения неизвестных  параметров b0, b1 уравнения парной линейной регрессии (1) используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

                                                                                (7)

Для решения этой системы  вначале необходимо определить значения величин ∑х, ∑у, ∑x² и ∑xy. Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 6)

Таблица 6 - К расчету  коэффициентов регрессии

№	уi	хi		xi·yi
1.	240	178	31684	42720
2.	215	199	39601	42785
3.	220	180	32400	39600
4.	222	181	32761	40182
5.	231	186	34596	42966
6.	229	250	62500	57250
∑	1357	1174	233542	265503

 

Тогда система (7) приобретает  вид:

Выражая из первого уравнения b0 и подставляя полученное выражение во второе уравнение, получим:

Тогда

Окончательно уравнение  парной линейной регрессии связывающее величину назначенных ежемесячных пенсий (у) с величиной прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц (х) имеет вид:

у = 227- 0,004х                                                                                              (8)

Далее, в соответствии с заданием необходимо оценить тесноту  статистической связи зависимой переменной у с объясняющей беременной х с помощью показателей корреляции и детерминации.

Так как построено  уравнение парной линейной регрессии, то определяем линейный коэффициент корреляции по зависимости:

                                                                                            (9)

где σxσy - значения среднеквадратических отклонений соответствующих параметров.

Для расчета линейного коэффициента корреляции по зависимости (9) выполним промежуточные расчеты:

;

 

Подставляя значения найденных параметров в выражение (9), получим:

 

Полученное значение линейного коэффициента корреляции свидетельствует о наличии слабой обратной статистической связи между величиной назначенных ежемесячных пенсий (у) и величиной прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц (х).

Коэффициент детерминации равен  что означает, что только 0,04% объясняется регрессией объясняющей переменной х на величину у. Соответственно величина 1 - равная 99,96 % характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных.

Коэффициент эластичности определяется по зависимости (3) и равен:

Следовательно, при изменении  величины прожиточного минимума на 1%, величина назначенных ежемесячных пенсий снизится на 0,0035%. Причем, при увеличении прожиточного минимума наблюдается снижение величины назначенных ежемесячных пенсий. Данный вывод противоречит здравому смыслу и может быть объяснен только некорректностью сформированной математической модели.