Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей у загальноосвітній школі

fy">2)  Скільки учнів залишились  для вибору заступника після вибору старости?

3)  Скількома  способами можна обрати заступника старости?

4)  Скількома способами  можна обрати і старосту, і його заступника?

Розв'язання. Старостою  можна обрати будь-якого учня класу, тобто є 28 способів. Заступника старости можна обрати 27 способами. Старосту та заступника разом можна обрати 28 х 27 = 756 способами.

Ці задачі ілюструють ще одне правило комбінаторики.

Правило множення. Якщо елемент а можна вибрати m способами та після кожного такого вибору елемент b можна вибрати n способами, то вибір пари а та b y вказаному порядку можна здійснити m х n способами.

Наступні задачі розв'язують учні біля дошки, розмірковуючи аналогічно попереднім.

Вправа 4. Припустимо, що потрібно сформувати команду космічного корабля з трьох осіб: командира, інженера та лікаря. На місце командира є 4 кандидати, на місце інженера — 3, а на місце лікаря — 5. Скількома способами може бути сформовано команда корабля?

Розв'язання. Вибір командира може бути здійснений 4 способами, інженера — трьома, а лікаря — п'ятьма. Отже, вибір командира й інженера можна здійснити 3x4 способами, лікаря для кожної такої команди можна вибрати п'ятьма способами. Отже, команду буде сформовано З х 4 х 5 = 60 способами.

Сформулюємо тепер це правило  комбінаторики в загальному вигляді.

Правило множення. Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n₁ способами, після чого другу дію — n₂ способами, після чого третю дію — n₃ способами і так далі до k-ї дії, яку можна виконати n_k способами, то всі k дій разом можуть виконуватися n₁ x n₂ x n₃ x...х n_k способами.

Вправа 5. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 0,1,2 таких, що:

а) кожна з цифр повторюється не більш ніж один раз;

б) цифри можуть повторюватися.

Розв'язання: а) першою цифрою може бути одна з двох цифр 1 або 2; коли перша цифра вибрана, то друга може бути вибрана також двома способами (0 або 1, 0 або 2). За правилом множення загальна кількість способів дорівнює 2x2 = 4;

б) першою цифрою може бути одна з двох цифр 1 або 2 (дві можливості); для кожної наступної цифри маємо 3 можливості (0, 1, 2). Отже, 2x3 = 6.

Вправа 6. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 5?

Розв'язання. На перше місце можна поставити будь-яку з цифр 1, 2, ..., 9, тобто першу цифру можна вибрати 9 способами. Оскільки не говориться, що цифри не повинні повторюватися, то другу цифру можна обрати 10 способами (ті самі цифри та ще 0), третю та четверту цифри так само, а ось остання цифра може бути тільки 0 або 5, тобто останню цифру можна вибрати двома способами. За правилом множення маємо 9 х 10 х 10 х 10 х 2 = 18000.

II. Перестановки

Вправа 7. Скільки одноцифрових чисел можна скласти з цифри 3?

Розв'язання. Одну — 3.

Вправа 8. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5, 6, щоб цифри у числі не повторювалися?

Розв'язання. На перше місце можна вибрати одну з двох цифр, на друге поставимо цифру, що залишиться. За правилом множення 2x1= 2.

Вправа 9. Скільки трицифрових чисел можна скласти з 6, 7, 9, щоб цифри у числі не повторювалися?

Розв'язання. На перше  місце можна поставити будь-яку цифру. Це можна зробити трьома способами. На друге місце можна поставити будь-яку із тих цифр, що залишилися. Це можна зробити двома способами. Як тільки вибрані перші дві цифри, то на третє місце можна поставити одну цифру, що залишиться. За правилом множення маємо 3x2x1 = 6.

Одночасно з розв'язанням  цих задач учитель малює на дошці таблицю й заповнює її за допомогою учнів (див. таб.1).

Таблиця1

Множина	Кількість елементів	Кількість чисел	Як визначили  чисел кількість
{3}	1	1	1
{5; 6}	2	2	1 x 2 = 2
{6; 7; 9}	3	6	1x2x3 = 6

 

Вправа 10. Скільки різних чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4 так, щоб цифри не повторювалися?

Розв'язання. 1 х 2 х 3 х 4 = 24.

Вправа 11. Розв'яжіть попередню задачу за умови, що буде n цифр і треба скласти n-цифрових чисел.

Розв'язання. Розмірковуючи аналогічно, знаходимо кількість способів, якими можна скласти n-цифрові числа n х (n — 1) х (n — 2) х ... х 4 х 3 х 2 х х1.

Означення. В математиці прийнято позначати 1x2 = 2!; 1x2x3 = 3!; ...;

1 х 2 х 3 х ... n = n!. Читається: «один факторіал, два факторіал, ..., n-факторіал».

n! — 1 х 2 х 3 х ... х (n — 2) х (n — 1) х n.

Розв'язуючи попередні задачі, можна було просто переставляти цифри місцями та отримувати різні числа, які б відрізнялися лише порядком наступності цифр у числі. Конструюючи числа, ми отримували скінченні числові множини.

Розрізняють впорядковані та невпорядковані множини. Скінченні  множини, для яких порядок елементів суттєвий, називають впорядкованими. Вказати порядок розташування елементів у скінченній множині з п елементів означає поставити у відповідність кожному елементу даної множини певне натуральне число від 1 до п. Наприклад, дано А = {1; 2; 7}, В = {2; 7; 1} А = = В за означенням, якщо вони невпорядковані множини. Якщо ж їх впорядкувати, то А В.

Означення. Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Р_n

З розглянутих прикладів  можна зробити висновок, що Р_n = n!.

VI.  Розв'язування вправ

Вправа 12. Скільки різних трицифрових чисел можна утворити з цифр 0, 2, 6?

Розв'язання. Щоб отримати з цифр 0, 2 та 6 різні трицифрові числа, потрібно скласти перестановки з трьох елементів Р_З = 3!. Але серед таких чисел будуть такі, що починаються з 0, їх треба відняти. Остаточно маємо 3! -      - 2! = 6 -2 = 4 числа.

Вправа 13. Скільки різних кілець, що світяться, можна утворити, розмістивши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважають однаковими, якщо порядок розташування кольорів один і той самий).

Розв'язання. Якби ці 10 різнокольорових лампочок були розміщені в ряд, то кількість способів розміщення була б Р₁₀ =10!. Але оскільки вони розміщені по колу, то кожне положення, що відрізняється порядком розташування кольорів, має 10 «подібних», утворених просто обертанням цієї системи навколо центра кола.

Тоді різних кілець буде

Вправа 14. Скількома способами можна розмістити 4 книжки з алгебри та 3 з геометрії, щоб усі книжки з геометрії стояли поряд?

Розв'язання. Щоб виконувалась умова про книжки з геометрії, об'єднаємо книжки з геометрії умовно в одну. Тоді маємо 5 книжок і Р₅ розташувань. Книжки з геометрії, в свою чергу, між собою можна розмістити Р₃ способами. Всього за правилом добутку маємо Р₅ х Р₃ = 120 х 6 = 720 способів.

VII. Підведення підсумків

1. Запишіть наступні додатки  за допомогою знака факторіала:

а) 1x2x3x4x5; б) 1х2хЗх4х5х6х7х х8х9;

в) 1 х 2 х ... х (k — 1) х k;

2.  Які з рівностей  правильні?

а)  1x2x3x4x5x6x7 = 7!;

б)  2 х 3 х 4 х 5 х 6 = 6!;

в)  1x2x3x5x6x7 = 7!;

г)  6x5x4x3x2 = 6!;

3.  Запишіть у вигляді  добутку:

а) 3!; б) n!; в) (n - 1)!; г) (n - 3)!; д) (2n)!;

4.  Поставте замість  * множник:

а) * х 5! = 7!; б) * х (k - 4)! = (k - 1)!;

в) * х 7! = 8!; г) * х (n - 3)! = n!;

д)  *х(n - 1)! = (n+ 1)!;

5.  Спростіть:

1) Р₈ - Р₆; 4) P_k-1 - P_k+l; 7) 10) ;

2)  (2n + 2)!; 5) 2n!(n + 1);   8) ; 11) ;

3) ; 6) ; 9) .

VIIІ. Домашня робота:

1.  Скільки   п'ятицифрових   чисел    можна утворити а  цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторення, щоб  парні цифри не стояли поруч?

Розв'язання. З цих цифр можна побудувати всього Р₅ п'ятицифрових чисел. Серед них є і такі, що містять 2 та 4 поруч, їх буде Р₄ х Р₂ (якщо 2 і 4 об'єднати в одну цифру, тоді з усіх цифр отримаємо Р₄ чисел; 2 і 4 можна переставити Р₂ способами, за правилом множення Р₄ х Р₂ чисел). Остаточно маємо Р₅ - Р₄ х Р₂ = 72 числа.

2. З букв розрізної  абетки складено слово «конус». Скільки «слів» можна отримати, якщо переставити букви в цьому слові? (Словом будемо рахувати будь-яку послідовність букв).

Розв'язання. Переставляючи місцями букви слова «конус», отримуємо Р₅ = 5! нових слів.

3.  Скільки  десятицифрових  чисел   можна утворити в  десятковій системі числення  без повторень?

Розв'язання. Всього чисел буде Р₁₀ = 10!, але треба відняти ті, що починаються з 0, таких чисел буде Р₉. Остаточно маємо Р₁₀ - Р₉ = 10! - 9! чисел.

 

 

 

 

Додаток 2. Урок статистики в школі

Тема. Вступ до статистики. Статистичне спостереження, генеральна сукупність і вибірка.

Мета уроку. Учні повинні отримати уявлення про статистику як науку, її предмет і методи, статистичні спостереження та їх види, статистичні таблиці.

І. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу 

Вступ до статистики

Теорію ймовірностей як науку  про закономірності масових явищ можна розглядати як частину більш  широкої науки — статистики. Термін «статистика» походить від латинського  «status» — стан.

На початку XX ст. у США і в усіх західноєвропейських країнах виникли урядові статистичні бюро, які проводили переписи населення і готували результати їх обробки до публікації.

Зрозуміло, що статистичні  дослідження різних країн можна  порівнювати між собою тільки за умови, якщо вони велися за однією і  тією самою методикою. Першими організаціями, наділеними координаційними функціями, стали, починаючи з 1919 p., міжнародні статистичні конгреси. З 1946р. при ООН працює Статистична комісія. Особливе значення мають публікації статистичних матеріалів регіональними статистичними комісіями, що входять до статистичної системи ООН. Назвемо найважливіші видання:

•  Демографічний щорічник (Demographic Yearbook). Із цього видання можна дізнатися про зміни чисельності населення країн світу, народжуваність, смертність, розподіл населення на міське та сільське.

•  Статистичний щорічник Продовольчої комісії, де публікуються дані про урожайність і площі  вирощування основних культур, а  також рівні споживання і якість продовольчих продуктів, їх калорійність у різних країнах. Лікуються дані про рівень грамотності і розвиток культури та науки в міжнародному масштабі.

Така увага до статистичних даних на державному і міжнародному рівнях свідчить про необхідність оволодіння основними поняттями і методами статистики.

Ми розглянемо такі основні  теми математичної статистики:

1.  Статистичне спостереження,  генеральна сукупність і вибірка.

2.  Варіаційні ряди  і найпростіші їх характеристики.

3.  Полігон і гістограма, медіана і мода.

4.  Статистичні характеристики  варіаційних рядів — середнє  арифметичне і вибіркова дисперсія.

Термін вибірка означає  деяку групу, відібрану із сукупності. Якщо нас буде цікавити певна характеристика сукупності, то її називають параметром сукупності. Наприклад, розглянемо сукупність бухгалтерів України, їхня середня заробітна плата буде являти собою параметр сукупності. Але якщо відібрати 100 бухгалтерів, то це буде вибірка, а їхня середня заробітна плата буде статистичним показником, який характеризує параметр сукупності.

Метою статистичного дослідження  може бути пошук величини параметра  сукупності, наприклад таких, як середня зарплата держслужбовців України або середній зріст чоловічого населення Європи. Другою проблемою, яку вирішують у статистичному дослідженні, є визначення ступеню довіри до тверджень стосовно параметрів сукупності, коли параметр визначався за певною вибіркою. Наприклад, наскільки середня зарплата сотні певним чином відібраних бухгалтерів наближена до середньої зарплати всіх бухгалтерів. Проте цю сторону статистичного дослідження ми розглядати не будемо — її вивчають в університетському курсі математичної статистики.

Вибіркове спостереження  застосовують із декількох причин.

1.  Практичність. Генеральна  сукупність, як правило, дуже велика, практично необмежена, її фізично  неможливо охопити спостереженнями.

2. Затрати. Статистичне  спостереження кожного з представників сукупності потребує певних коштів, і при збільшенні обсягу вибірки такі затрат можуть зростати необмежено.

3.  Виграш за часом  дослідження. Часто буває так,  що потрібно оцінити параметр  сукупності терміново і неможливо  за обмежений проміжок часу  охопити всю сукупність.

4. Помилки. Разом зі  збільшенням обсягу вибірки зростає кількість людей, залучених до статистичного спостереження, водночас збільшується ризик помилок з причини «людського фактора».

5. Статистичні випробування  зі знищенням. Спостереження над представниками вибірки може передбачати їх знищення. Наприклад, досліджується тривалість безвідмовної роботи електролампочок певного типу. Тоді судити про цей параметр усієї сукупності лампочок можна тільки за результатом випробування певної вибірки лампочок.