Правда, до нашего времени не сохранилось  никаких памятников математической литературы, которые давали бы нам  возможность судить о развитии математики на Руси в IX-X вв., но документы другого характера позволяют делать некоторые выводы в этом отношении. Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г. и носящее заголовок «Критика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение имже ведати человеку числа всех лет».

       В этом сочинении Кирик выявил себя весьма искусным счетчиком и великим  числолюбцем. Основные задачи, которые разрешаются Кириком, хронологического порядка: вычисление времени, протекшего между каким-либо событием. При вычислениях Кирик пользовался той системой нумерации, которая называлась малым перечнем и выражалась следующими наименованиями: 10000 – тьма, 100 000 – легион, или неведий, 1 000 000 – леодр.

       Кроме малого перечня, в Древней Руси существовал  еще больший перечень, который  давал возможность оперировать  с очень большими числами. В системе  перечня основные разрядные единицы  имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно:

       Тысяча  тысяч – тьма;

       Тьма  тем – легион, или певедий;

       Легион  легионов – леодр;

       Леодр леодров – ворон;

       10 воронов – колода.

       В последнем из этих чисел, т.е. о колоде, говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумевати».

       Единицы, десятки и сотни изображались славянскими буквами с поставленным над ними знаком                , называемым титло, для отличия цифр от букв. Тысячи изображались теми же буквами, но перед ними ставился знак               Так,            изображала единицу,                 - двадцать два,            - шесть тысяч и т.д.

       Тьма, легион и леодр изображались теми же буквами, но для отличия от единиц, десятков, сотен и тысяч они  обводились кружками. Так,          изображало три тьмы;              - три легиона, а            - три леодра.

       К XVI в. относится изобретение замечательного счетного прибора, получившего впоследствии название «русские счеты» (рис). Как полагают, идея создания этого прибора принадлежит русским купцам Строгоновым. Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломанными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

         - половина, полтина, - треть, - четь, - полтреть, - полчеть, - полполтреть, - полполчеть, - полполполтреть (малая треть), - полполполчеть, - пятина, - седьмина, - десятина.

       Славянские  нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Глава II. От натуральных чисел к комплексным

2.1. Натуральные числа

       Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в  доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими , как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

       Источником  возникновения понятия возникновения  отвлечённого числа является примитивный  счёт предметов, заключающийся в  сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.

       У большинства народов первым таким  эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени  число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей  употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея – обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

       С развитием письменности возможности  воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

       Важным  шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности  натурального ряда чисел, т.е. потенциальной  возможности его безграничного  продолжения.

       Натуральные числа, кроме основной функции –  характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

       Вопрос  об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг.19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощности, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется что-то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение  отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на эталонную совокупность  на ранних ступенях – пальцы рук и зарубки на палочке и т.д. на современном этапе – слова и знаки, обозначающие число. Определение данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

2.2. Дробные числа

       Наряду  с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась  потребность измерять длину, площадь. Объём, время и другие величины. Приходится учитывать и части употребляемой  меры. Так возникли дроби.

       В истории развития дробного числа  мы встречаем дроби трёх видов:

       1) доли или единичные дроби, у  которых числитель единица, знаменателем  же может быть любое целое  число;

       2) дроби систематические, у которых  числителями могут быть любые числа, знаменателями же – только числа некоторого частного вида, например степени десяти или шестидесяти;

       3) дроби общего вида, у которых  числители и знаменатели могут  быть любыми числами.

       Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные эпохи.

       Знакомство  человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми знаменателями.

       Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто людьми, которые арифметике дробных чисел никогда не обучались. Эти простейшие дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития.

       Единичные дроби. Древние египтяне, несмотря на то, что в течение нескольких тысячелетий своей истории развили высокую культуру, оставили после себя прекрасные  памятники  искусства, владели многими отраслями техники, однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей (и дроби ). Если задача приводила к ответу, который мы выражаем дробным числом, египтяне его представляли в виде суммы единичных дробей или долей. Если, например, ответ по нашему был , египтяне представляли его в виде суммы + + и писали без знаков сложения: . Без знака сложения обходились и многие позднейшие народы, понимая писание дробей рядом, как сложение. Этот египетский способ письма частично сохранился и у нас. Мы пишем смешанные числа, ставя рядом, без какого-либо соединяющего знака, число целых единиц  и дробей, и понимаем запись, как сумму: пишем вместо .

       Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными дробями  делал решение задач сложным. Не всегда это так. Например, египетский автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы сказали бы, что каждый получает хлеба.

       Для египтянина не было числа , но он знал, что от деления 7 на 8 получается + + . Этот факт подсказывает ему, что для делёжа семи хлебов между восемью лицами нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба – на четвертинки и 1 хлеб – на осьмушки и распределяет доли между получающими. Для делёжа пришлось сделать всего 4+6+7=17 разрезов.

       Кладовщик, работающий в наши дни, которому предстоит такая же задача деления хлебов, сообразив, что каждому получателю надо дать семь восьмушек, быть может, сочтет нужным разрезать все 7 хлебов предварительно на восьмушки, для чего ему требуется сделать 7х7=49 размеров. Как видим, в этой задаче египетский способ решения является более практичным.

       Решение задач практической жизни при  помощи одних лишь долей (египетский способ) имело место почти у всех европейских народов, начиная с греков.

         Систематические дроби. Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби. Самый ранний по времени вид таких дробей есть шестидесятеричные дроби, употреблявшиеся в древнем Вавилоне. В этих дробях знаменателем служат числа 60; 60² = 3600, 60³ = 261 000, 60⁴, 60⁵ и т.д., и они сходны с нашими десятеричными дробями.

       Шестидесятеричными  дробями пользовались все культурные народы до XVII века, особенно в научных работах, поэтому они и назывались физическими или астрономическими дробями, а дроби общего вида, в отличие от них – обыкновенными или народными. Следы пользования этими дробями остались у нас до сих пор: минута есть 1/60, секунда 1/60² = 1/3600, терция 1/60³ = 1/216 000 часть числа.

       Десятичные  дроби. Десятичные дроби представляют также вид систематических дробей.

       К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе.

       Зарождение  и развитие десятичных дробей в некоторых  странах Азии было тесно связано  с метрологией (учением о мерах). Уже во II в. до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

       Примерно  в III в н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объёма. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей метрологическую форму.

       Вот, например, какие меры массы существовали в Китае в X веке: 1 лан = 10 цянь = 10² фэнь = 10³ ли = 10⁴ хао = 10⁵ сы = 10⁶ хо.