Введение  в теорию множеств

ЛЕКЦИЯ 1.1.

   Основные  понятия и определения  теории множеств

 

   Краткое содержание лекции 

• Основные  понятия и определения теории множеств
• Интуитивный принцип объемности
• Интуитивный принцип абстракции
• Сравнение множеств
• Булеан конечного множества

1.1.2. Основные понятия  и определения  теории множеств

   Определение.  Под множеством (совокупностью) М понимают набор объектов произвольной природы, которые называются элементами множества. Если число элементов конечно, множество называется конечным. В противном случае говорят о бесконечном множестве.

   Подразумевается, что элементы множества различны и различимы между собой. Само множество элементов рассматривается  как единое целое, и в качестве такого может быть элементом любого другого множества. Элементы могут быть любыми объектами - числами, людьми, яблоками, буквами и тому подобное. В математике в качестве элементов множества рассматривают математические объекты - числа и множества чисел, точки и множества точек, абстрактные элементы, образующие алгебраические структуры: группы, поля, кольца, решетки и т.д.

Множества большей частью будем обозначать большими латинскими буквами: А, М, Х. Для числовых множеств приняты такие обозначения

   N - множество натуральных чисел; 

   N⁺ - множество натуральных чисел с нулем; 

   Z - множество целых чисел;

   Q - множество рациональных чисел;

   R - множество вещественных чисел;

   C - множество комплексных чисел.

   Все перечисленные числовые множества  бесконечны.

   Постулируется, что любое множество состоит  из своих элементов и однозначно определяются ими. Таким образом, предполагается, что для каждых конкретных объекта и множества можно определить, является ли данный объект элементом данного множества или нет. Элементы множества будем обозначать малыми латинскими буквами: а, b, … , x, y, z.

   Определение. Говорят, что всякий элемент х множества М принадлежит М и пишут: хÎМ. Если же предмет х не является элементом множества М, то говорят, что х не принадлежит М и пишут: хÏМ.

   Если  множество А состоит из элементов а₁, а₂, … , а_п, будем писать: а₁, а₂, … , а_п Î А или А = {а₁, а₂, … , а_п}. При этом порядок перечисления элементов не имеет значения.

   Определение. Множества, содержащие в качестве элементов другие множества, называются семействами (классами).

   Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается . Существование пустого множества – это постулат.

   Определение. Если все элементы данной системы множеств принадлежат какому-то одному большому множеству, такое множество называется универсальным множеством или универсумом и обозначается U. Из контекста, как правило, ясно, какие элементы образуют универсум. В иных случаях универсум - это некоторое абстрактное множество, из элементов которого состоят все остальные множества, и других «кирпичиков» для образования множеств нет.

1.1.3. Два принципа интуитивной  теории множеств

   Утверждение, что любое множество однозначно определяется своими элементами можно  сформулировать по-другому.

   Определение. (Интуитивный принцип объемности). Два множества А и В называются равными, пишется A = B, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

   Следовательно, если множества А и В не равны, то существует хотя бы один элемент х такой, что х принадлежит одному из этих множеств, но не принадлежит другому. Неравенство множеств обозначается символом , пишут A B.

   В соответствии с принципом объемности доказательство равенства множеств А и В нужно проводить в два этапа: доказать, что всякий  элемент принадлежит также множеству В; доказать, что всякий  элемент принадлежит и множеству А.

   Пример 1. Множество А = {1, 2, 3} равно множеству В = {2, 3, 1}, так как порядок перечисления элементов множества не имеет значения.

   Пример 2.  множество слева от знака ¹ – это пустое множество, не содержащее элементов, а множество справа – это множество, содержащее единственный элемент – пустое множество.

   Пример 3.  {{1, 2}, {2, 3}} ¹ {1, 2, 3}, так как первое множество – это семейство, содержащее два элемента: множества {1, 2}, {2, 3}. Второе множество содержит три элемента – 1, 2, 3.

   Пример 4. Докажем, что множество А всех положительных целых четных чисел равно множеству В всех положительных чисел, представимых как сумма двух целых положительных нечетных чисел.

   Доказательство.

Þ Тогда

Ü

   Тогда

   Определение. Под высказыванием будем понимать любое повествовательное предложение, которое можно охарактеризовать как истинное или ложное.

   Под одноместным характеристическим предикатом от будем понимать некоторое утверждение относительно объекта , которое превращается в высказывание, истинное, ложное или бессмысленное, если букву заменить именем объекта.

   Сразу оговоримся, что судить об истинности, ложности или бессмысленности полученного  высказывания можно не всегда. Но сейчас мы приведем примеры одноместных предикатов, для которых такие суждения представляются возможными.

1. Рассмотрим утверждение « > 5». Этот предикат превращается в истинное высказывание, если букву заменить числом 8, ложное высказывание, если букву заменить числом 4 и, по-видимому, в бессмысленное высказывание, если написать «слон > 5».
2. Предикат «слово содержит букву б» превращается в истинное высказывание в случае «слово «алгебра» содержит букву б» и ложное в случае «слово «группа» содержит букву б».

   Частично  избежать бессмыслицы можно, если заранее  оговорить, из какого множества выбираются имена, заменяющие букву  , как, например, в случае 3.

   Всякий  одноместный предикат можно считать функцией одного переменного х. Значения функции – истинные ложные или бессмысленные высказывания. Область определения – некоторое множество имен объектов.

   Понятие одноместного предиката легко обобщить, определяя двух-, трех-,…, n- местные предикаты. Например, “x+y=5” – это двухместный предикат , “x+y=z” – трехместный предикат и т.д.

   Предикаты будем обозначать большими латинскими буквами, после которых в скобках  перечислены их аргументы: P(x), Q(x, y), R(x₁, x₂, …, x_n) и т.д.

   Определение. (Интуитивный принцип  абстракции).

   Говорят, что всякий предикат P(x) задает некоторое множество A (быть может пустое), посредством условия, согласно которому в А входят те и только те элементы а, которые обращают P(а) в истинное высказывание.

   Так как всякое множество однозначно определяется своими элементами, любой  предикат определяет в точности одно множество А, обозначение: .

   Читается: множество таких элементов а, что P(а) – истинное высказывание. Возможны некоторые модификации записи , смысл которых легко понять из контекста.

   Пример 1. А = - это множество точек окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

   Пример 2.  А = и x не имеет отличных от 1 делителей меньших или равных - это множество простых чисел.

   Пример 3.  А = - пустое множество.

   Замечание. В формулировках принципов объемности а абстракции используются два интуитивных понятия – множества и принадлежности элемента множеству. Неограниченное употребление этих понятий при построении характеристических предикатов приводит к парадоксам.

1.1.4. Сравнение множеств 

   Определение. Говорят, что множество A содержится во множестве B (А – подмножество B, А включено в B, В содержит/включает A), если всякий элемент множества A принадлежит и множеству В. В этом случае пишут: . Таким образом,  Û

   Можно сказать иначе: если , то .

   Одновременно  верно и такое утверждение: если и , то , ведь в противном случае обязан принадлежать . Значит, можно записать: если , то .

   Определение. Говорят, что множество A есть собственное подмножество  множества B (В строго включает А) и пишут A В, если и В А.

   Таким образом,  A В Û и

   Определение. Если (A В), то множества А и В называются сравнимыми между собой.

   Ясно, что

   · A для всякого множества A;

   · Если и , то ;  ( и , то ).

   Исходя  из определения подмножества, опишем необходимые и достаточные условия  того, что множество А не является подмножеством множества В (обозначение: А Ë В).

   Именно, АËВ Û Во множестве А должен существовать хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству В.

   Утверждение. для всякого множества А.

   Доказательство. Пусть . Тогда . Но данное условие противоречиво, пустое множество не содержит элементов.

   Пример.  Пусть В = {1, {2}, {1}, {2, 3}, {1, 3}} и А₁ = {1, 2};

А₂ = {1, {1}};  А₃ = {2, 3};  А₄ = {{2, 3}};  А₅ = {1, {2, 3}, {1, 3}};

А₆ = {1, Æ}; А₇ = {{2}, {2, 3}, {1, 2, 3}};  А₈ = Æ.

   Тогда А₁ Ë В (2 Ï В);  А₂ Í В;  А₃ Ë В (2 Ï В и 3 Ï В);  А₄ Í В;  А₅ Í В;  А₆ Ë В (Æ Ï В);  А₇ Ë В ({1, 2, 3} Ï В);  А₈ Í В.