Задачи по "Математической статистике

Исходные данные:

k = 4 – количество букв в полном имени студента;

l = 10 – количество букв в отчестве студента;

m = 6 – количество букв в фамилии студента;

n = 5 – номер студента в списке группы.

 

Задание 6

Производятся  четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что

1) будет два  попадания; 

2) будет не  менее трех попаданий. 

 

Решение:

1) Введем обозначения: 

количество  испытаний n = 4;

число наступлений  события “попадание” m = 2;

вероятность наступления события “попадание” p = 0,5;

тогда q = 1-p = 0,5.

По формуле  Бернулли получаем:

Таким образом, вероятность того, что будет два попадания, равна 0,375

 

2) Введем обозначения:

количество  испытаний n = 4;

событие “попадание не менее трех раз” означает, что может быть либо 3 либо 4 попадания из четырех производимых выстрелов, следовательно, m = 3 или m = 4;

вероятность наступления  события “попадание” p = 0,5;

тогда q = 1-p = 0,5.

По формуле Бернулли получаем:

Таким образом, вероятность того, что будет не менее трех попаданий, равна 0,3125.

 

Задание 9

Имеется три  ящика с деталями, в которых  соответственно 13 стандартных и 2 бракованных, 15 стандартных и 6 бракованных, 8 стандартных и 4 бракованных. Наудачу деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что она взята из первого ящика.

 

Решение:

Если известно, что в результате опыта событие A произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности тех гипотез, при которых событие A происходит с большей вероятностью, и уменьшаются вероятности остальных. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется так называемая теорема гипотез, или формула Байеса:

Будем считать гипотезами выбор одного из ящиков. Поскольку ящики одинаковы, каждый из них можно выбрать с одинаковой вероятностью, а так как сумма вероятностей гипотез равна 1, то вероятность каждой гипотезы

Условная вероятность события A, то есть извлечения бракованной детали из ящика, определяется по классическому определению вероятности (количеством благоприятных исходов при этом является число бракованных деталей, а числом возможных исходов – общее число деталей в ящике). Поэтому

Используя формулу полной вероятности, получаем:

Так как нам известно, что событие «деталь оказалась бракованной» произошло, то по формуле Байеса найдем вероятность того, что деталь достали из первого ящика:

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика, равна 0,178

 

 

 

Задание 10

Монета бросается 10 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет не менее 6 и не более 8 раз.

 

Решение:

По заданному условию монета бросается 10 раз, значит n = 10. Вероятность выпадения герба p = 0.5 (q = 0.5).

По формуле  Бернулли находим вероятность события :

Вероятность того, что герб выпадет не менее 6 и не более 8 раз, равна 0,36

 

 

 

 

Задание 11

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие A может появиться с вероятностью p = 0,4. Опыт повторяют в неизменных условиях  500 раз. Определите вероятность того, что при этом

1) событие A произойдет от 125 до 450 раз;

2) событие A произойдет в меньшинстве опытов;

3) событие A произойдет в большинстве опытов.

 

Решение:

1) Для отыскания вероятности этого события удобно использовать интегральную формулу Муавра-Лапласа

Где

Функция Ф(x) – функция Лапласа, затабулирована.

 

2) Необходимо найти вероятность того, что событие произойдёт не более, чем в 249 опытах из 500. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

 

3) Аналогично  найдем вероятность того, что событие произойдёт не менее, чем в 251 опыте из 500:

 

 

Задание 12

Закон распределения  дискретной случайной величины X задан таблицей:

 

X	5	7	10	19
P	0,09	0,18	0,27	0,46

 

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее  квадратическое отклонение дискретной случайной величины X.

 

Решение:

Математическим  ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины X называется число, вычисляемое по формуле:

Найдем M[X]:

Величина X–M[X] называется отклонением X от среднего (математического ожидания). Таким образом, дисперсия является мерой отклонения случайной величины X от своего среднего.

Из определения дисперсии  вытекает формула для ее вычисления:

От этой формулы с помощью несложных преобразований можно перейти к формуле:

Cреднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X определим по формуле:

 

 

 

 

Задание 13

Математическое  ожидание нормально распределенной случайной величины равно m=6, ее среднее квадратичное отклонение . Выполните следующие задания:

1) напишите формулу  функции плотности распределения  вероятности и схематично постройте ее график;

2) найдите вероятность  того, что X примет значения из интервала , где ,

 

_{Решение:}

1) Нормальным  называется распределение, функция  плотности вероятности которого  имеет вид:

где m – математическое ожидание случайной величины;

s² – дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания.

Для заданных параметров функция плотности будет иметь вид:

2) Найдем вероятность того, что X примет значения из интервала (5, 7), используя формулу вероятности попадания значений нормальной случайной величины X в интервал

Где Ф(x) – функция Лапласа:

 

Задание 14

Известно эмпирическое распределение выборки. Найдите  выборочную среднюю, выборочную и исправленную выборочную дисперсию. Постройте полигон  частот и график эмпирической функции  распределения.

 

	1	3	6	9	12	15	9
	10	12	20	25	15	10	8

 

Решение:

Выборочная  средняя определяется по формуле:

Выборочная  дисперсия:

Исправленная  дисперсия 

Вычисления  приведем в таблице 

 

	1	3	6	9	12	15	9	Сумма
	10	12	20	25	15	10	8	100
	10	36	120	225	180	150	72	793
	480,2	291,7	74,5	28,6	248,5	499,8	9,2	1632,5

 

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки, которой  соединяют точки (x₁;n₁), (x₂;n₂), …, (x_k;n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i.

Эмпирической  функцией распределения (функцией распределения  выборки) называют функцию F*(x) = n_x/n, определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х.

 

	1	3	6	9	12	15	9
	10	12	20	25	15	10	8
Относительная частота	0,1	0,12	0,2	0,25	0,15	0,1	0,08

 

Эмпирическая  функция будет иметь вид:

Построим график эмпирической функции

 

 

Задание 15

По данным предыдущей задачи проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона при уровне значимости .

 

Решение:

Выборочная  средняя:

Исправленное  среднее квадратическое отклонение

Найдем теоретические  вероятности и теоретические  частоты:

 

 

i	Границы интервалов
1	1	3	0,07	7
2	3	6	0,2	20
3	6	9	0,28	28
4	9	12	0,23	23
5	12	15	0,11	11

 

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Для  этого:

1) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона.

 

Вычисления  представим в следующей таблице

 

i
1	11	7	16	2.28
2	16	20	16	0.8
3	22.5	28	30.25	1.08
4	20	23	9	0.39
5	12.5	11	6.25	0.57
∑				5.12